Distribución Chi-cuadrado

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chi-cuadrado
La función de densidad de probabilidad
Función de distribución acumulativa
Parámetros	$k> 0 \,$ grados de libertad
Apoyo	$x \ in [0; + \ Infty) \,$
PDF	$\ Frac {(1/2) ^ {k / 2}} {\ Gamma (k / 2)} x ^ {k / 2 - 1} e ^ {- x / 2} \,$
CDF	$\ Frac {\ gamma (k / 2, x / 2)} {\ Gamma (k / 2)} \,$
Significar	$k \,$
Mediana	aproximadamente $k-2/3 \,$
Modo	$k-2 \,$ si $k \ geq 2 \,$
Desacuerdo	$2 \, k \,$
Oblicuidad	$\ Sqrt {8 / k} \,$
Ex. curtosis	$12 / k \,$
Entropía	$\ Frac {k} {2} \ + \ \ ln (2 \ Gamma (k / 2)) \ + \ (1 \ -! \ K / 2)!!!! \ Psi (k / 2)$
MGF	$(1-2 \, t) ^ {- k / 2}$ para $2 \, t <1 \,$
CF	$(1-2 \, i \, t) ^ {- k / 2} \,$

En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución de chi-cuadrado (también chi-cuadrado o $\ Chi ^ 2$ distribución) es uno de los más utilizados teóricos de distribuciones de probabilidad en estadística inferencial, por ejemplo, en pruebas de significación estadística. Es útil porque, bajo supuestos razonables, cantidades calculadas pueden ser fácilmente demostrado tener distribuciones que se aproximan a la distribución chi-cuadrado si el hipótesis nula es verdadera.

Si $X_i$ son k independientes, distribuidas normalmente variables aleatorias con media 0 y varianza 1, entonces la variable aleatoria

$Q = \ sum_ {i = 1} ^ k X_i ^ 2$

se distribuye de acuerdo a la distribución de chi-cuadrado. Esto se suele escribir

$Q \ sim \ chi ^ 2_k. \,$

La distribución chi-cuadrado tiene un parámetro: $k$ - Un número entero positivo que especifica el número de grados de libertad (es decir, el número de $X_i$ )

La distribución chi-cuadrado es un caso especial de la distribución gamma.

Las situaciones más conocidas en el que se utilizan la distribución chi-cuadrado son el común pruebas de chi-cuadrado para bondad de ajuste de una distribución observada a una teórica, y de la independencia de los dos criterios de clasificación de datos cualitativos. Sin embargo, muchas otras pruebas estadísticas conducen a un uso de esta distribución. Un ejemplo es Análisis de Friedman de la varianza por rangos.

Características

La función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de la distribución chi-cuadrado es

$f (x; k) = \ begin {casos} \ displaystyle \ frac {1} {2 ^ {k / 2} \ Gamma (k / 2)} \, x ^ {(k / 2) - 1} e ^ {-x / 2} & \ text {} para x> 0, \\ 0 & \ text {for} x \ le0, \ end {casos}$

donde $\ Gamma$ denota la Función Gamma, que toma valores particulares en las semi-enteros.

Función de distribución acumulativa

Su función de distribución acumulativa es:

$F (x; k) = \ frac {\ gamma (k / 2, x / 2)} {\ Gamma (k / 2)} = P (k / 2, x / 2)$

donde $\ Gamma (k, z)$ es el menor función gamma incompleta y $P (k, z)$ es el función gamma regularizada.

Las tablas de esta distribución - por lo general en su forma acumulativa - están ampliamente disponibles y la función se incluye en muchos hojas de cálculo y todo paquetes estadísticos.

Función característica

La función característica de la distribución Chi-cuadrado es

$\ Chi. (T; k) = (1-2it) ^ {- k / 2} \,$

Propiedades

La distribución chi-cuadrado tiene numerosas aplicaciones en inferencia estadística , por ejemplo en pruebas de chi-cuadrado y en la estimación de varianzas . Entra en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y el problema de la estimación de la pendiente de una regresión línea a través de su papel en la distribución t de Student . Entra en todo análisis de los problemas de la varianza a través de su papel en el F-distribución, que es la distribución de la relación de dos chi-cuadrado independientes variables aleatorias divididas por sus respectivos grados de libertad.

Aproximación normal

Si $X \ sim \ chi ^ 2_k$ , Entonces como $k$ tiende a infinito, la distribución de $X$ tiende a la normalidad. Sin embargo, la tendencia es lenta (la asimetría es $\ Sqrt {8 / k}$ y el exceso de curtosis es $12 / k$ ) Y dos transformaciones se consideran comúnmente, cada uno de los cuales se aproxima a la normalidad más rápido que $X$ sí:

Fisher mostró empíricamente que $\ Sqrt {2X}$ es aproximadamente una distribución normal con media $\ Sqrt {2 k-1}$ y la varianza unidad. Es posible llegar al mismo resultado normal aproximación mediante el uso de momento coincidente. Para ver esto, considere la media y la varianza de una variable aleatoria distribuida-Chi $z = \ sqrt {X}$ , Que se dan por $\ Mu_z = \ sqrt {2} \ frac {\ Gamma \ dejó (k / 2 + 1/2 \ right)} {\ Gamma \ left (k / 2 \ right)}$ y $\ Sigma_z ^ 2 = k- \ mu_z ^ 2$ , Donde $\ Gamma (\ cdot)$ es la función Gamma. La relación particular de las funciones gamma en $\ Mu_z$ tiene la siguiente expansión de la serie :

$\ Frac {\ Gamma \ dejó (N + 1/2 \ right)} {\ Gamma \ dejó (N \ right)} = \ sqrt {N} \ dejó (1- \ frac {1} {8N} + \ frac {1} {128N ^ 2} + \ frac {5} {1024N ^ 3} - \ frac {21} {32768N ^ 4} + \ ldots \ right).$ Cuando $N \ gg 1$ , Esta relación se puede aproximar como sigue: $\ Frac {\ Gamma \ dejó (N + 1/2 \ right)} {\ Gamma \ dejó (N \right)}\approx\sqrt{N}\left(1-\frac{1}{8N}\right)\approx\sqrt{N}\left(1-\frac{1}{4N}\right)^{0.5}=\sqrt{N-1/4}.$

Entonces, simple momento resultados coincidentes en la siguiente aproximación de $z$ : $z \ sim {\ mathcal N} \ left (\ sqrt {k-1/2}, \ frac {1} {2} \ right)$ , De la cual se deduce que $\ Sqrt {2X} \ sim {\ mathcal N} \ left (\ sqrt {2 k-1}, 1 \ right)$ .

Wilson y Hilferty mostraron en 1931 que $\ Sqrt [3] {X / k}$ es aproximadamente una distribución normal con media $1-2 / (9k)$ y la varianza $2 / (9k)$ .

La valor esperado de una variable aleatoria que tiene una distribución chi-cuadrado con $k$ grados de libertad es $k$ y la varianza es $2k$ . La mediana está dada aproximadamente por

$k- \ frac {2} {3} + \ frac {4} {27k} - \ frac {8} {729k ^ 2}.$

Tenga en cuenta que 2 grados de libertad de plomo a una distribución exponencial .

Información entropía

La información de entropía viene dada por

$H = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f (x; k) \ ln (f (x; k)) dx = \ frac {k} {2} + \ ln \ left (2 \ Gamma \ dejó ( \ frac {k} {2} \ right) \ right) + \ left (1 - \ frac {k} {2} \ right) \ psi (k / 2).$

donde $\ Psi (x)$ es el Función digamma.

Distribuciones Relacionados

$X \ sim \ mathrm {Exponencial} (\ lambda = \ frac {1} {2})$ es una distribución exponencial si $X \ sim \ chi_2 ^ 2$ (Con 2 grados de libertad).
$Y \ sim \ chi_k ^ 2$ es una distribución chi-cuadrado si $Y = \ sum_ {m = 1} ^ k x_m ^ 2$ para $X_i \ sim N (0,1)$ independiente que se distribuye normalmente .
Si el $X_i \ sim N (\ mu_i, 1)$ disponer de medios distintos de cero, entonces $Y = \ sum_ {m = 1} ^ k x_m ^ 2$ se extrae de una distribución chi-cuadrado no central.
La distribución de chi-cuadrado $X \ sim \ chi ^ 2_ \ nu$ es un caso especial de la distribución gamma, en ese $X \ sim \ textrm {gamma} (\ tfrac {\ nu} {2}, 2)$ .
$Y \ sim \ mathrm {F} (\ nu_1, \ nu_2)$ es una F-distribución si $Y = \ frac {x 1 / \ nu_1} {X_2 / \ nu_2}$ donde $X_1 \ sim \ chi _ {\ nu_1} ^ 2$ y $X_2 \ sim \ chi _ {\ nu_2} ^ 2$ son independientes con sus respectivos grados de libertad.
$Y \ sim \ chi ^ 2 (\ bar {\ nu})$ es una distribución chi-cuadrado si $Y = \ sum_ {m = 1} ^ N x_m$ donde $X_m \ sim \ chi ^ 2 (\ nu_m)$ son independientes y $\ Bar {\ nu} = \ sum_ {m = 1} ^ N \ nu_m$ .
si $X$ se distribuye chi-cuadrado, entonces $\ Sqrt {X}$ es chi distribuida.
En particular, si $X \ sim \ chi_2 ^ 2$ (Chi-cuadrado con 2 grados de libertad), a continuación, $\ Sqrt {X}$ es Distribución de Rayleigh.
si $X_1, \ dots, X_n$ son iid $N (\ mu, \ sigma ^ 2)$ variables aleatorias , entonces $\ Sum_ {i = 1} ^ n (X_i - \ bar X) ^ 2 \ sim \ sigma ^ 2 \ chi ^ 2_ {n-1}$ donde $\ Bar X = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n X_i$ .
si $X \ sim \ mathrm {SkewLogistic} (\ frac {1} {2}) \,$ , A continuación, $\ Mathrm {log} (1 + e ^ {- X}) \ sim \ chi_2 ^ 2 \,$

**Varios chi y distribuciones chi-cuadrado**
Nombre	Estadística
distribución chi-cuadrado	$\ Sum_ {i = 1} ^ k \ frac {\ left (X_i- \ mu_i \ right) ^ 2} {\ sigma_i ^ 2}$
no central chi-cuadrado de distribución	$\ Sum_ {i = 1} ^ k \ left (\ frac {X_i} {\ sigma_i} \ right) ^ 2$
distribución chi	$\ Sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ k \ left (\ frac {X_i- \ mu_i} {\ sigma_i} \ right) ^ 2}$
distribución chi no central	$\ Sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ k \ left (\ frac {X_i} {\ sigma_i} \ right) ^ 2}$

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