Calcul vectoriel

Calcul vectoriel (également appelée analyse vectorielle) est un domaine de mathématiques concerné avec multivariée analyse réelle des vecteurs dans un l'espace interne du produit de deux ou plus dimensions (quelques résultats - ceux qui concernent la produit en croix - ne peuvent être appliqués à trois dimensions). Il se compose d'une suite de formules et de résolution de problèmes techniques très utiles pour l'ingénierie et de la physique . Analyse vectorielle a son origine dans analyse de quaternion, et a été formulée par l'ingénieur et scientifique américain J. Willard Gibbs et l'ingénieur britannique Oliver Heaviside.

Calcul vectoriel concerne champs scalaires, qui associent un scalaire à chaque point dans l'espace, et champs de vecteurs, qui associent un vecteur à chaque point dans l'espace. Par exemple, la température d'une piscine est un champ scalaire: à chaque point nous associons une valeur scalaire de la température. Le débit d'eau dans le même pool est un champ de vecteurs: à chaque point nous associons un vecteur vitesse.

opérations vectorielles

Vecteur études de calcul différents opérateurs différentiels définis sur les champs scalaires ou vectorielles, qui sont généralement exprimés en termes de del opérateur ( ). Les quatre opérations les plus importantes dans le calcul vectoriel sont:

Opération	Notation	Description	Domaine / Plage
Pente		Mesure la vitesse et la direction du changement dans un champ scalaire.	Cartes champs scalaires à des champs de vecteurs.
Curl		Mesure la tendance à tourner autour d'un point dans un champ de vecteur.	Cartes champs de vecteurs à des champs de vecteurs.
Divergence		Mesure la magnitude d'une source ou un puits à un moment donné dans un champ de vecteurs.	Cartes champs de vecteurs à des champs scalaires.
Laplacien		Composition des opérations de divergence et gradient.	Cartes champs scalaires à des champs scalaires.

Une quantité appelée le Jacobienne est utile pour étudier les fonctions lorsque les deux le domaine et de la fonction sont à variables multiples, comme un changement de variables lors de l'intégration.

Théorèmes

De même, il ya plusieurs théorèmes importants liés à ces opérateurs qui généralisent le théorème fondamental du calcul à des dimensions supérieures:

Théorème	Déclaration	Description
Théorème du gradient		Le intégrale curviligne à travers un champ de gradient (vecteur) est égale à la différence de son champ scalaire aux extrémités de la courbe .
Le théorème de Green		L'intégrale de la courbure d'un champ scalaire vectoriel sur une région dans le plan est égale à l'intégrale de ligne du champ de vecteurs sur la courbe limitant la région.
Théorème de Stokes		L'intégrale de la boucle d'un champ de vecteurs sur une surface est égale à l'intégrale de ligne du champ de vecteurs sur la courbe délimitant la surface.
Théorème de la divergence		L'intégrale de la divergence d'un champ vectoriel sur certaines solide est égale à l'intégrale de la flux à travers la surface délimitant le solide.

L'utilisation de calcul vectoriel peut exiger l'impartialité de la système de coordonnées à prendre en compte (voir produit en croix et impartialité pour plus de détails). La plupart des résultats analytiques sont faciles à comprendre, sous une forme plus générale, en utilisant le mécanisme de la géométrie différentielle , dont le calcul vectoriel forme un sous-ensemble.