Géométrie différentielle

Géométrie différentielle est une mathématique discipline qui utilise les méthodes de différentiel et intégral calcul pour étudier les problèmes de géométrie . La théorie de l'avion et de l'espace et les courbes de surfaces en trois dimensions espace euclidien forment la base de son développement initial dans le XVIIIe et XIXe siècles. Depuis la fin du XIXe siècle, la géométrie différentielle a grandi dans un champ concerné plus généralement avec des structures géométriques sur variétés différentiables. Il est étroitement apparenté avec topologie différentielle et avec les aspects géométriques de la théorie des équations différentielles . La preuve de la Conjecture de Poincaré en utilisant les techniques de Flot de Ricci a démontré la puissance de l'approche différentielle géométrique aux questions de topologie et a souligné le rôle important joué par les méthodes analytiques.

Branches de la géométrie différentielle

La géométrie de Riemann

Études de géométrie de Riemann Variétés riemanniennes, variétés lisses avec une métrique riemannienne, une notion de distance exprimée au moyen d'un définie positive forme bilinéaire symétrique définie sur l'espace tangent en chaque point. La géométrie de Riemann généralise la géométrie euclidienne aux espaces qui ne sont pas nécessairement plane, bien qu'ils ressemblent encore l' espace euclidien à chaque point "infiniment", ce est à dire dans le premier ordre d'approximation. Divers concepts basés sur la longueur, comme le longueur de l'arc de courbes , la zone des régions planes, et le volume de solides admettent tous analogues naturels dans la géométrie de Riemann. La notion de dérivée directionnelle d'une fonction à partir de la Fonction de plusieurs variables est prolongée dans la géométrie de Riemann à la notion d'un dérivée covariante d'un tenseur. De nombreux concepts et techniques d'analyse et équations différentielles ont été généralisées à l'établissement des variétés riemanniennes.

Une distance de préservation difféomorphisme entre variétés riemanniennes est appelé isométrie. Cette notion peut également être définie localement, ce est à dire pour les petits quartiers de points. Les deux courbes régulières sont localement isométrique. Cependant, Theorema egregium de Gauss déjà montré que pour les surfaces, l'existence d'une isométrie locale impose des conditions de compatibilité fortes sur leurs paramètres: la Courbures gaussiennes aux points correspondants doivent être les mêmes. En dimension supérieure, le Tenseur de Riemann est un important invariant ponctuelle associée à une variété riemannienne qui mesure à quel point il est d'être plat. Une classe importante de variétés riemanniennes est formé par la Espaces symétriques de Riemann, dont la courbure est constante. Ils sont le plus proche du plan «ordinaire» et l'espace considéré et dans euclidienne géométrie non-euclidienne.

géométrie pseudo-riemannienne

géométrie pseudo-riemannienne généralise la géométrie de Riemann à l'affaire dans laquelle la tenseur métrique ne est pas nécessairement définie positive. Un cas particulier de ceci est un Collecteur de Lorentz qui est la base mathématique de Einstein de la théorie de la relativité générale de gravité .

Géométrie Finsler

Géométrie Finsler a le collecteur Finsler que l'objet principal de l'étude - ce est une variété différentielle avec un Finsler métrique, soit une Banach norme définie sur chaque espace tangent. Une métrique Finsler est une structure beaucoup plus général que une métrique riemannienne. Structure Finsler sur une variété M est une fonction F: M → T [0, ∞) de sorte que:

1. F (x, my) = MF (x, y) pour tout x, y dans T M,
2. F est infiniment différentiable en T M - {0},
3. La Hesse verticale de F ² est définie positive.

Géométrie symplectique

Géométrie symplectique est l'étude des variétés symplectiques. Une variété presque symplectique est une variété différentiable équipé d'un variant doucement non dégénérée antisymétrique forme bilinéaire sur chaque espace tangent, soit un non dégénérée 2- forme ω, appelé la forme symplectique. Une variété symplectique est une variété presque symplectique pour lesquels la forme symplectique ω est fermée: d ω = 0.

Un difféomorphisme entre deux variétés symplectiques qui préserve la forme symplectique est appelé symplectomorphisme. Non dégénérée antisymétrique formes bilinéaires ne peuvent exister, même sur les espaces vectoriels de dimension, de sorte que les variétés symplectiques ont nécessairement même dimension. En dimension 2, une variété symplectique est juste un surface dotée d'une forme de la zone et un symplectomorphisme est un difféomorphisme de la zone de préservation. Le espace de phase d'un système mécanique est une variété symplectique et ils ont fait une apparition implicite déjà dans le travail de Lagrange sur mécanique analytique et plus tard dans Jacobi et Hamilton la formulation de la mécanique classique.

En revanche avec la géométrie de Riemann, où le courbure offre un invariant locale de variétés riemanniennes, Théorème de Darboux stipule que toutes les variétés symplectiques sont localement isomorphes. Les seuls invariants d'une variété symplectique sont de nature mondiale et les aspects topologiques jouent un rôle de premier plan en géométrie symplectique. Le premier résultat en topologie symplectique est probablement le Théorème de Poincaré-Birkhoff, conjecturé par Henri Poincaré et prouvé par George Birkhoff en 1912. Il affirme que si une zone en préservant la carte d'un annulaires rebondissements chaque composante de bord dans des directions opposées, puis la carte a au moins deux points fixes.

Géométrie de contact

Contactez géométrie, traite de certains collecteurs de dimension impaire. Il est proche de la géométrie symplectique et, comme ce dernier, il est originaire dans les questions de la mécanique classique. Structure de contact sur une (n 2 1) de dimension variété M est donnée par un champ de hyperplan H de la lisse faisceau tangent qui est aussi loin que possible de leur association avec les ensembles de niveaux d'une fonction différentiable sur M (le terme technique de «diffusion de hyperplan tangente non intégrable totalement"). Près de chaque point p, une distribution de hyperplan est déterminée par une fuite nulle part 1-forme , Qui est unique à la multiplication par une fonction de fuite nulle part:

A 1-forme locale sur M est un formulaire de contact si la restriction de son dérivée extérieure à H est un non-dégénérée 2-forme et induit une structure symplectique sur H _p à chaque point ainsi. Si la distribution H peut être définie par une 1-forme mondiale alors cette forme est le contact si et seulement si la forme supérieure dimensions

est un forme volume sur M, ce est à dire ne se annule pas ne importe où. Un analogue du théorème de Darboux de contact détient: toutes les structures de contact sur un collecteur de dimension impaire sont localement isomorphes et peuvent être amenés à une certaine forme normale locale par un choix approprié du système de coordonnées.

Complexe et la géométrie Kähler

Géométrie différentielle complexe est l'étude des variétés complexes. Une variété presque complexe est un véritable collecteur , Dotée d'une tenseur Type (1,1), soit une fibré endomorphisme (appelé structure presque complexe)

, Tel que .

Il découle de cette définition qu'un variété presque complexe est encore dimensions.

Une variété presque complexe est appelé complexe si Où est un tenseur de type (2,1) liées à , Appelée Nijenhuis tenseur (ou parfois de torsion). Une variété presque complexe est complexe si et seulement si il admet une holomorphe coordonner atlas. Une structure presque hermitienne est donnée par une structure presque complexe J, avec une riemannian métrique g, satisfaisant à la condition de compatibilité . Une structure presque hermitienne définit naturellement 2-forme différentielle . Les deux conditions suivantes sont équivalentes:

où est le Connexion de Levi-Civita de . Dans ce cas, est appelé un La structure Kähler, et un collecteur Kähler est un collecteur doté d'une structure Kähler. En particulier, un collecteur est à la fois un Kähler complexe et un variété symplectique. Une grande classe de variétés de Kähler (la classe de Collecteurs Hodge) est donnée par tous les lisse variétés projectives complexes.

La géométrie CR

Géométrie CR est l'étude de la géométrie intrinsèque des limites des domaines dans variétés complexes.

Ensembles et connexions

Appareil de fibrés vectoriels, fibrés principaux, et connexions sur eux joue un rôle extrêmement important dans la géométrie différentielle moderne. Une variété lisse porte toujours un faisceau de vecteur naturel, le bundle tangente. Grosso modo, cette structure en elle-même ne est suffisante que pour le développement de l'analyse sur le collecteur, tout en faisant la géométrie nécessite en plus un moyen de relier les espaces tangents à différents points, à savoir la notion de transport parallèle. Un exemple important est fourni par connexions affines. Pour un R ³ en surface, plans tangents en différents points peut être identifiée en utilisant le caractère plat de l'espace euclidien ambiante. En La géométrie de Riemann, le Connexion de Levi-Civita sert un objectif semblable. Plus généralement, les géomètres différentielles considèrent espaces avec un faisceau de vecteur et une connexion en remplacement de la notion de Variété riemannienne. Dans cette approche, le faisceau est au collecteur externe et doit être spécifié en tant que partie de la structure, tandis que la connexion fournit une amélioration supplémentaire. En physique, le collecteur peut être le espace-temps et faisceaux et les connexions correspondent à différents domaines physiques.

Intrinsèque par rapport extrinsèque

Initialement et jusqu'au milieu du XIXe siècle , la géométrie différentielle a été étudiée du point de vue extrinsèque: courbes et les surfaces ont été considérées comme se trouvant dans un espace euclidien de dimension plus élevée (par exemple une surface en un l'espace de trois dimensions ambiante). Les résultats les plus simples sont ceux de la géométrie différentielle des courbes. À commencer par les travaux de Riemann , le point de vue intrinsèque a été développé, dans lequel on ne peut pas parler de déplacer «en dehors» de l'objet géométrique, car il est considéré comme donné d'une manière autonome.

Le point de vue intrinsèque est plus souple. Par exemple, il est utile dans la relativité où l'espace-temps ne peut naturellement être pris comme extrinsèque (ce qui serait «l'extérieur» il?). Avec le point de vue intrinsèque, il est plus difficile à définir le concept central de courbure et d'autres structures telles que connexions, donc il ya un prix à payer.

Ces deux points de vue peuvent être conciliés, ce est à dire la géométrie extrinsèque peut être considéré comme une structure additionnelle à celle intrinsèque. (Voir la Nash intégration théorème.)

Applications de géométrie différentielle

Voici quelques exemples de la façon dont la géométrie différentielle est appliquée à d'autres domaines de la science et des mathématiques.

• Dans la physique , la géométrie différentielle est la langue dans laquelle d'Einstein la théorie de la relativité générale est exprimée. Selon la théorie, l'univers est une variété lisse équipé pseudo-métrique riemannienne, qui décrit le courbure de l'espace-temps. La compréhension de cette courbure est essentiel pour le positionnement de satellites en orbite autour de la terre. Géométrie différentielle est également indispensable dans l'étude des lentille gravitationnelle et les trous noirs .
• Dans l'économie , la géométrie différentielle a des applications au domaine de la économétrie.
• Modélisation géométrique (y compris infographie) et conception géométrique tirage assistée par ordinateur sur les idées de la géométrie différentielle.
• Dans l'ingénierie , la géométrie différentielle peut être appliqué pour résoudre les problèmes dans traitement numérique du signal.
• Dans la physique , l'utilisation de formes différentielles sont utiles dans l'étude de l'électromagnétisme .
• Dans la physique , la géométrie différentielle a des applications à la fois Équations de Lagrange et Mécanique hamiltonienne. Variétés symplectiques en particulier, peuvent être utilisées pour étudier Systèmes hamiltoniens.