Ensemble de Mandelbrot

Renseignements généraux

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Image initiale d'une séquence ensemble de zoom Mandelbrot avec l'environnement continue de couleur

L'ensemble de Mandelbrot est un ensemble de points dans le plan complexe , le limite forme une fractale . Mathématiquement, l'ensemble de Mandelbrot peut être définie comme l'ensemble des -values c complexes pour lesquels la orbite de 0 dans itération de la complexe quadratique polynôme x _{n + 1} = x ² _n + C reste délimitée.

Par exemple. c = 1 donne la séquence 0, 1, 2, 5, 26 ... ce qui conduit à l'infini. Comme cette séquence ne est pas borné, 1 ne est pas un élément de l'ensemble de Mandelbrot.

D'un autre côté, c = i donne la séquence 0, i, (-1 + i), -i (-1 + i), ... -i qui est délimitée, et si elle appartient à l'ensemble de Mandelbrot.

Quand elle est calculée et représentée graphiquement sur le plan complexe, l'ensemble de Mandelbrot est considéré comme ayant une limite élaborée, ce qui ne simplifie pas à ne importe quel grossissement donné. Ce qualifie la frontière comme une fractale.

L'ensemble de Mandelbrot est devenu populaires en dehors des mathématiques à la fois pour son attrait esthétique et pour être une structure complexe résultant d'une définition simple. Benoît Mandelbrot et d'autres ont travaillé dur pour communiquer domaine des mathématiques au public.

Histoire

L'ensemble de Mandelbrot a sa place dans dynamiques complexes, un premier champ d'une enquête par les mathématiciens français Pierre Fatou et Gaston Julia au début du 20ème siècle. Les premières photos de celui-ci ont été établis en 1978 par Robert et Peter Brooks Matelski dans le cadre d'une étude de Groupes kleiniennes.

Mandelbrot a étudié l'espace des paramètres de polynômes quadratiques dans un article paru en 1980. L'étude mathématique de l'ensemble de Mandelbrot vraiment commencé avec le travail par les mathématiciens Adrien Douady et John H. Hubbard, qui a établi plusieurs de ses propriétés fondamentales et nommé en l'honneur de l'ensemble de Mandelbrot.

Les mathématiciens Heinz-Otto et Peitgen Peter Richter est devenu bien connu pour la promotion de l'ensemble de photographies sur papier glacé, des livres, et une galerie de tourisme.

L'article de couverture du Août 1985 Scientific American en vedette une image créée par Mandelbrot, Peitgen, et Hubbard.

Le travail de Douady et Hubbard a coïncidé avec une forte augmentation de l'intérêt pour la dynamique complexes et mathématiques abstraites, et l'étude de l'ensemble de Mandelbrot a été une pièce maîtresse de ce champ depuis. Une liste exhaustive de tous les mathématiciens qui ont contribué à la compréhension de cet ensemble depuis, ce est au-delà du champ d'application de cet article, mais une telle liste inclurait notamment Mikhail Lyubich, Curt McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura, et Jean-Christophe Yoccoz.

Définition formelle

L'ensemble de Mandelbrot $M$ est définie par une famille de polynômes quadratique complexe

$P_c: \ mathbb C \ à \ mathbb C$

donné par

$P_c: z \ mapsto z ^ 2 + c$ ,

où $c$ est un paramètre complexe. Pour chaque $c$ , On considère le comportement de la séquence $(0, P_c (0), P_c (P_c (0)), P_c (P_c (P_c (0))), \ ldots)$ obtenu par itération $P_c (z)$ à partir de point critique $z = 0 \,$ , Qui soit se échappe à l'infini ou reste dans un disque de certains rayon fini. L'ensemble de Mandelbrot est défini comme l'ensemble de tous les points $c$ de telle sorte que la séquence ci-dessus ne se échappe pas à l'infini.

La représentation de Un mathématicien de l'ensemble de Mandelbrot M, un point c est de couleur noire si elle appartient à l'ensemble, et blanc sinon. Re [c] et Im [c] désignent les parties réelles et imaginaires de c.

Plus formellement, si $P_c ^ {\ circ} n (z)$ désigne le n-ième itération de $P_c (z)$ (C. $P_c (z)$ composé avec lui-même n fois), l'ensemble de Mandelbrot est le sous-ensemble du plan complexe donnée par

$M = \ \ left {c \ in \ mathbb C: \ sup_ {n \ in \ mathbb N} | P_c ^ {\ circ} n (0) | <\ infin \ right \}.$

Mathématiquement, l'ensemble de Mandelbrot est juste un un ensemble de nombres complexes. Un nombre complexe donné $c$ soit appartient à $M$ ou il ne le fait pas. Une image de l'ensemble de Mandelbrot peut être faite par la coloration tous les points $c$ qui appartiennent à $M$ noir, et tous les autres points blanc. Les photos les plus colorés habituellement vus sont générés par des points de colorants ne sont pas dans l'ensemble selon la façon dont rapidement ou lentement la séquence $| P_c ^ {\ circ} n (0) |$ diverge à l'infini. Voir la section sur les dessins informatiques ci-dessous pour plus de détails.

L'ensemble de Mandelbrot peut également être définie comme étant la connexité locus de la famille des polynômes $P_c (z)$ . Autrement dit, ce est le sous-ensemble du plan complexe ces paramètres consistant en $c$ pour lesquels le Ensemble de Julia de $P_c$ est relié.

Propriétés de base

L'ensemble de Mandelbrot est un ensemble compact , contenue dans le disque fermé de rayon 2 autour de l'origine. En fait, un point $c$ appartient à l'ensemble de Mandelbrot si et seulement si $| P_c ^ {\ circ} n (0) | \ leq 2$ pour tous $n \ geq 0$ . En d'autres termes, si la valeur absolue de $P_c ^ {\ circ} n (0)$ devient de plus en plus grand que 2, la séquence sera échapper à l'infini.

Correspondance entre l'ensemble de Mandelbrot et de la carte logistique

L' intersection de $M$ avec l'axe réel est précisément l'intervalle $[-2, 0,25] \,$ . Les paramètres le long de cet intervalle peuvent être mis en one-to-one correspondance avec ceux de la vraie famille logistique,

$z \ mapsto \ lambda z (z-1), \ quad \ lambda \ in [1,4]. \,$

La correspondance est donnée par

$c = \ frac {1 - (\ lambda-1) ^ 2} {4}.$

En fait, ce qui donne une correspondance entre l'ensemble de l'espace des paramètres de la famille de logistique et que l'ensemble de Mandelbrot.

La superficie de l'ensemble de Mandelbrot est estimé à 1,506 ± 0,000 591 77 000 08.

Douady et Hubbard ont montré que l'ensemble de Mandelbrot est relié. En fait, ils ont construit un explicite conforme isomorphisme entre le complément de l'ensemble de Mandelbrot et le complément de la disque de l'unité de fermeture. Mandelbrot avait initialement supposé que l'ensemble de Mandelbrot est débranché. Cette conjecture a été basée sur des images informatiques générés par les programmes qui sont incapables de détecter les minces filaments reliant les différentes parties du $M$ . Après d'autres expériences, il a révisé sa conjecture, décidant que $M$ doit être connecté.

La formule pour la dynamique uniformisation du complément de l'ensemble de Mandelbrot, découlant de la preuve de Douady et Hubbard de la connexité des $M$ , Donne lieu à rayons externes de l'ensemble de Mandelbrot. Ces rayons peuvent être utilisés pour étudier l'ensemble de Mandelbrot en termes combinatoires et forment l'épine dorsale de la Parapuzzle Yoccoz.

Le frontière de l'ensemble de Mandelbrot est exactement le bifurcation locus de la famille quadratique; ce est l'ensemble de paramètres $c$ pour lesquels la dynamique change brusquement sous de petites modifications de $c.$ Il peut être construit comme un ensemble d'une séquence de fin de course courbes algébriques d'avion, les courbes de Mandelbrot, du type général connu sous le nom lemniscates polynomiale. Les courbes de Mandelbrot sont définies par la mise en p ₀ = z, p _n = p _n-1 ² + z, puis l'interprétation de l'ensemble des points | p _n (z) | = 1 dans le plan complexe comme une courbe dans le réel cartésien plan de degré 2 ^{n + 1} en x et y.

Autres propriétés

Les principaux ampoules cardioïde et période

Périodes de composantes hyperboliques

En regardant une image de l'ensemble de Mandelbrot, on remarque immédiatement le grande région en forme de cardioïde dans le centre. Cette cardioïde principal est la région de paramètres $c$ pour lequel $P_c$ a un attirer point fixe. Il se compose de tous les paramètres de la forme

$c = \ frac {1 - (\ mu-1) ^ 2} {4}$

pour certains $\ Mu \,$ dans le ouverte disque unité.

Pour la gauche de la cardioïde principale, attaché à elle au point $c = -3/4$ Une ampoule de forme circulaire est visible. Cette ampoule est constituée de ces paramètres $c \,$ pour lequel $P_c$ a un attirer cycle de la période 2. Cet ensemble de paramètres est un cercle réelle, à savoir que de rayon autour de 1/4 -1.

Il ya une infinité de nombreux autres ampoules tangente à la cardioïde principale: pour chaque nombre rationnel $\ Frac {p} {q}$ , Avec p et q premiers entre eux, il existe une telle ampoule qui est tangente au paramètre

$c _ {\ frac {p} {q}} = \ frac {1 - \ left (e ^ {2 \ pi i \ frac {p} {q}} - 1 \ right) ^ 2} {4}.$

Attirer cycle 2/5 bulbe tracées sur Julia jeu (animation)

Cette ampoule est appelé le $\ Frac {p} {q}$ -bulb de l'ensemble de Mandelbrot. Il se compose de paramètres qui ont une période de cycle attractif $q$ et le nombre de rotation combinatoire $\ Frac {p} {q}$ . Plus précisément, la $q$ périodique Fatou composants contenant le cycle attirer tout contact en un point commun (communément appelé le $\ Alpha \,$ Point -fixed). Si nous appelons ces composants $U_0, \ dots, U_ {q-1}$ dans une orientation anti-horaire, puis $P_c$ Cartes du composant $U_j$ au composant $U_ {j + p \ (\ operatorname {} mod q)}$ .

Attirer les cycles et les ensembles de Julia pour les paramètres dans les 1/2, 3/7, 2/5, 1/3, 1/4, 1/5 et ampoules

Le changement de comportement se produisant à $c _ {\ frac {p} {q}}$ qui est connu comme un bifurcation: le point fixe "entre en collision avec un« Attirer q -cycle période de répulsion. Comme nous passons par le paramètre de bifurcation dans le $\ Frac {p} {q}$ -bulb, le point fixe attirer se transforme en un point fixe répulsif (la $\ Alpha$ Point -fixed), et la période q -cycle devient attirant.

Composantes hyperboliques

Toutes les ampoules que nous avons rencontrés dans la section précédente étaient composants intérieurs de l'ensemble de Mandelbrot dans lequel les cartes $P_c \,$ avoir un cycle périodique attirer. Ces composants sont appelés composantes hyperboliques.

On suppose que ce sont les seules régions de l'intérieur de $M$ . Ce problème, connu sous le nom de densité hyperbolicité, peut-être le problème ouvert le plus important dans le domaine de la dynamique complexe. Composants non-hyperboliques hypothétiques de l'ensemble de Mandelbrot sont souvent désignés comme des composants "queer".

Pour les vrais polynômes quadratiques, cette question a été répondu positivement dans les années 1990 de façon indépendante par Lyubich et en Graczyk et Świątek. (Notez que les composantes hyperboliques coupant l'axe réels correspondent exactement aux fenêtres périodiques dans le Schéma Feigenbaum. Donc, ce résultat indique que ces fenêtres existent près de chaque paramètre dans le schéma.)

Non chaque composante hyperbolique peut être atteint par une séquence de bifurcations directs de la cardioïde principal de l'ensemble de Mandelbrot. Cependant, un tel composant peut être atteint par une séquence de bifurcations directs de la cardioïde principal d'une petite copie Mandelbrot (voir ci-dessous).

Connectivité locale

On suppose que l'ensemble de Mandelbrot est connecté localement. Cette fameuse conjecture est connu comme MLC (pour Mandelbrot connectés localement). Par le travail de Adrien Douady et John H. Hubbard, cette conjecture se traduirait par un modèle simple abstrait "disque pincé» de l'ensemble de Mandelbrot. En particulier, cela impliquerait la conjecture de hyperbolicité important mentionné ci-dessus.

Le célèbre ouvrage de Jean-Christophe Yoccoz établi connectivité locale de l'ensemble de Mandelbrot à tous fini-renormalisable paramètres; ce est, grosso modo celles qui sont contenues seulement dans un nombre fini de petites copies de Mandelbrot. Depuis lors, la connectivité locale a été prouvé dans de nombreux autres points de $M$ , Mais la conjecture complète est toujours ouverte.

Auto-similarité

Auto similitude dans l'ensemble de Mandelbrot montré en zoomant sur une partie spéciale pendant un panoramique dans le sens négatif-X. Les casseroles de centres d'affichage de (-1,0) à (-1.31,0) tandis que la vue se agrandit de 0,5 x 0,5 à 0,12 x 0,12 rapprochant les Rapport Feigenbaum $\ Delta$ .

Auto-similarité autour Misiurewicz point de -.1011 + .9563i.

L'ensemble de Mandelbrot est auto-similaire à la loupe dans les quartiers de la Les points Misiurewicz. Il est également conjecturé être auto-similaire autour généralisée Feigenbaum des points (par exemple -1,401155 ou -.1528 + 1.0397i), dans le sens d'une convergence vers un ensemble de limite.

Quasi-auto-similarité dans l'ensemble de Mandelbrot

L'ensemble de Mandelbrot en général ne est pas strictement auto-similaire mais il est quasi-auto-similaire, comme de petites versions légèrement différentes de lui-même peut être trouvé à arbitrairement petites échelles.

Les petites copies de l'ensemble de Mandelbrot sont tous légèrement différents, surtout à cause des minces filets qui les relient au corps principal de l'ensemble.

D'autres résultats

Le Hausdorff dimension de la frontière de l'ensemble de Mandelbrot est égal à 2 tel que déterminé par la suite de Mitsuhiro Shishikura. On ne sait pas si la frontière de l'ensemble de Mandelbrot a plane positif Mesure de Lebesgue.

Dans le Modèle Blum-Shub-Smale de calcul réel, l'ensemble de Mandelbrot ne est pas calculable, mais son complément est récursivement énumérable. Cependant, de nombreux objets simples (par exemple, le graphe de exponentiation) ne sont également pas calculable dans le modèle BSS. À l'heure actuelle, on ignore si l'ensemble de Mandelbrot est calculable dans les modèles de calcul réel basée sur analyse récursive, qui correspondent plus étroitement à la notion intuitive de "comploter l'ensemble par un ordinateur." Hertling a montré que l'ensemble de Mandelbrot est calculable dans ce modèle si la conjecture de hyperbolicité est vrai.

Relations avec les ensembles de Julia

Un "ensemble de Julia intégré"

En conséquence de la définition de l'ensemble de Mandelbrot, il existe une correspondance étroite entre la géométrie de l'ensemble de Mandelbrot à un moment donné et la structure du correspondant Ensemble de Julia.

Ce principe est exploitée dans les résultats quasi-totalité profondes sur l'ensemble de Mandelbrot. Par exemple, Shishikura prouve que, pour un ensemble dense de paramètres dans la limite de l'ensemble de Mandelbrot, l'ensemble de Julia a Dimension de Hausdorff deux, et puis transfère ces informations au plan de paramètre. De même, Yoccoz prouve d'abord la connectivité locale des ensembles de Julia, avant d'établir pour l'ensemble de Mandelbrot les paramètres correspondants. Adrien Douady Phrases ce principe

Plough dans le plan dynamique, et la récolte dans l'espace des paramètres.

Géométrie

temps de cycle et des antennes

Rappelons que, pour chaque nombre rationnel $\ Frac {p} {q}$ Où $p$ et $q$ sont relativement premiers, il ya une composante hyperbolique de la période $q$ bifurquant à partir de la cardioïde principale. La partie de l'ensemble de Mandelbrot relié à la cardioïde principal à ce point de bifurcation est appelé le p / q-membre. expériences informatiques suggèrent que le diamètre de la branche tend vers zéro comme $\ Frac {1} {q ^ 2}$ . La meilleure estimation actuelle connue est la célèbre Yoccoz l'inégalité, qui stipule que la taille tend vers zéro comme $\ Frac {1} {q}$ .

Une période $q$ -limb auront $q-1$ «Antennes» en haut de sa branche. On peut donc déterminer la période d'une ampoule donnée en comptant ces antennes.

Généralisations

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Multibrot réglé avec d changeant de 0 à 8

Parfois, le locus de la connectivité des familles autres que la famille quadratique est également désigné sous le nom de Mandelbrot de ces familles.

Le locus de connexité des familles de polynômes unicritical $f_c = z ^ d + c \,$ pour $d> 2$ sont souvent appelés ensembles Multibrot.

Ensembles Multibrot de degrés 3 et 4

Pour les familles générales de fonctions holomorphes, la limite de l'ensemble de Mandelbrot se généralise au bifurcation locus, qui est un objet naturel d'étudier même lorsque le lieu de connexité ne est pas utile.

Il est également possible d'envisager des structures similaires dans l'étude des mappages non analytiques. D'un intérêt particulier est le tricorne, le lieu de la connectivité de la famille anti-holomorphe

$z \ mapsto \ bar {} z ^ 2 + c. \,$

Le tricorne (parfois aussi appelé l'ensemble Mandelbar) a été rencontrée par Milnor dans son étude de tranches de paramètres de polynômes réels cubes. Il ne est pas connecté localement. Cette propriété est héritée par le locus de connexité des polynômes réels cubes.

dessins informatiques

Méthode Buddhabrot

Image fixe un film d'accroître grossissement ,001643721971153 + 0.822467633298876i

Algorithmes:

Échapper algorithme de temps
- Version booléenne (attire M-set et son extérieur en utilisant deux couleurs) = algorithme Mandelbrot
- discret (entier) version = level set méthode (LSM / M); attire ensemble de Mandelbrot et de bandes de couleur dans son extérieur
- version continue
- courbes de niveau version = attire lemniscates d'ensemble de Mandelbrot = limites d'ensembles de niveau
- la décomposition de l'extérieur des ensemble de Mandelbrot
potentiel complexe
- Hubbard-Douady (réel) potentiel des ensemble de Mandelbrot (CPM / M) - partie radiale du potentiel complexe
- angle externe de Mandelbrot set - partie angulaire du potentiel complexe
- abstraite M-set
Distance méthode d'estimation pour ensemble de Mandelbrot
- estimation de distance extérieur = algorithme Milnor (DEM / M)
- intérieur estimation de la distance
algorithme utilisé pour explorer l'intérieur d'ensemble de Mandelbrot
- période de composantes hyperboliques
- multiplicateur de orbite périodique (rayons internes (angle) et le rayon intenal)
- bof61 et bof60

Chaque algorithme peut être mis en oeuvre séquentielle ou version parallèle. La symétrie miroir peut être utilisé pour des calculs d'accélération .

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Échapper algorithme de temps

L'algorithme simple pour générer une représentation de l'ensemble de Mandelbrot est connu comme l'algorithme "échapper au temps". Un calcul répétition est effectuée pour chaque x, point dans la zone de la parcelle y et basée sur le comportement de ce calcul, une couleur est choisie pour ce pixel.

X et Y emplacement de chaque point sont utilisés comme valeurs de départ dans une répétition, ou itération calcul (décrit en détail ci-dessous). Le résultat de chaque itération est utilisé comme valeur de départ pour l'autre. Les valeurs sont vérifiés lors de chaque itération pour voir si elles ont atteint un «échapper» un état critique. Si cette condition est atteinte, le calcul est à l'arrêt, le pixel est tracé, et les prochaines x, y point est examiné. Pour certaines valeurs de départ, l'évasion se produit rapidement, après seulement un petit nombre d'itérations. Pour les autres valeurs de départ, il peut prendre des centaines ou des milliers d'itérations de se échapper. Pour les valeurs au sein de l'ensemble de Mandelbrot, l'évasion ne se produira jamais. Le programmeur ou l'utilisateur doit choisir combien itération, ou «profondeur», ils souhaitent examiner. Plus le nombre maximum d'itérations, plus de détails et la subtilité émerger dans l'image finale, mais le temps que cela prendra pour calculer l'image.

La couleur de chaque point représente la façon dont rapidement les valeurs ont atteint le point de fuite. Souvent noir est utilisé pour afficher les valeurs qui échouent à se échapper avant la limite d'itération, et les couleurs vives sont progressivement utilisés pour les points qui se échappent. Ceci donne une représentation visuelle du nombre de cycles ont été nécessaires avant d'atteindre l'état d'évacuation.

Pour les programmeurs

La définition de l'ensemble de Mandelbrot, avec ses propriétés de base, suggère un algorithme simple pour dessiner une image de l'ensemble de Mandelbrot. La région du plan complexe nous envisageons est divisé en un certain nombre de pixels. Pour colorer un tel pixel, laissez- $c \,$ le point médian de ce pixel. Nous parcourons maintenant la valeur critique $c \,$ sous $P_c \,$ , En vérifiant à chaque étape si le point de l'orbite a module plus grand que deux.

Si tel est le cas, on sait que la milieu ne appartient pas à l'ensemble de Mandelbrot, et nous colorer notre pixel. (Soit on colorie en blanc pour obtenir l'image mathématique simple ou de la couleur en fonction du nombre d'itérations utilisées pour obtenir les images colorées bien connus). Sinon, nous continuons itération pendant un certain (grand, mais fixe) nombre d'étapes, après quoi nous décidons que notre paramètre est «probablement» dans l'ensemble de Mandelbrot, ou au moins très proche de lui, et la couleur du pixel noir.

En pseudo, cet algorithme ressemblerait à ce qui suit.

 Pour chaque pixel de l'écran faire: {x = x0 = x coordonnée du pixel y = y0 = y coordonnée du pixel itération = 0 max_iteration = 1000 tout (x * x + y * y <= (2 * 2 ) et l'itération <max_iteration) {x = xtemp * x - y * y + x0 y = 2 * x * y + x = y0 xtemp itération itération = + 1} if (itération == max_iteration) puis color = autre couleur noire = parcelle d'itération (x0, y0, couleur)}

où, concernant le pseudo-code à $c \, z \,$ et $P_c \,$ :

$z = x + iy$
$z ^ 2 = x ^ 2 + i2xy - y ^ 2$
$c = x0 + iy0$

et si, comme on peut le voir dans le pseudo-code dans le calcul de x et y:

$x = Re (z ^ 2 + c) = x ^ 2-y ^ 2 + x0$ et y = $Im (z ^ 2 + c) = 2xy + y0$

Pour obtenir des images colorées de l'ensemble, l'affectation d'une couleur à chaque valeur du nombre d'itérations exécutées peut être fait en utilisant une d'une variété de fonctions (linéaire, exponentielle, etc.). Une façon pratique de le faire, sans ralentir les calculs, est d'utiliser le nombre d'itérations exécutées comme une entrée à une table palette de couleurs consultation initialisé au démarrage. Si la table de couleur a, par exemple, 500 entrées, alors vous pouvez utiliser n mod 500, où n est le nombre d'itérations, pour sélectionner la couleur à utiliser. Vous pouvez initialiser la matrice de palette de couleurs de différentes manières, en fonction de ce particularité du comportement de fuite que vous voulez souligner graphiquement.

Continu (lisse) colorant

Cette image a été rendue avec l'Escape Temps algorithme. Remarquez les "bandes" très évidentes de couleur.

Cette image a été rendue avec l'itération normalisé comte algorithme. Remarquez les bandes de couleur ont été remplacés par un gradient lisse.

Un autre exemple de l'itération normalisé comte algorithme. Notez qu'il n'y a aucun effet de baguage; toutes les couleurs se écoulent dans l'autre. En outre, les couleurs prennent sur le même modèle qui serait observée si l'Escape Temps algorithme a été utilisé.

The Escape Temps algorithme est populaire pour sa simplicité. Toutefois, il crée des bandes de couleur, ce qui peut nuire à la valeur d'une image. Cela peut être résolu en utilisant l'algorithme normalisé nombre d'itérations, qui fournit une transition en douceur de couleurs entre les itérations. L'équation est

$n + \ frac {\ ln (2 \ ln (B)) - \ ln (\ ln (| z |))} {\ ln (P)}$

où n est le nombre d'itérations pour z, B est le rayon de sauvetage (ce est normalement 2 pour un ensemble de Mandelbrot, mais il peut être modifié), et P est la puissance pour laquelle z est soulevée à l'ensemble équation de Mandelbrot (z _n = ₁ z _n + ^P c, P est généralement deux). Une autre équation pour cela est

$n + 1- \ frac {\ ln (\ ln (| z |))} {\ ln (2)}.$

Notez que cette nouvelle équation est plus simple que le premier, mais il ne fonctionne que pour Mandelbrot avec un rayon de sauvetage de 2 et une puissance de 2.
Bien que cet algorithme est relativement simple à mettre en œuvre (en utilisant soit l'équation), il ya quelques choses qui doivent être pris en considération. Tout d'abord, les deux équations renvoient un flux continu de nombres. Cependant, il est à vous de décider comment les valeurs de retour seront convertis en une couleur. Certains type de méthode pour la coulée de ces chiffres sur un gradient devrait être élaboré. Deuxièmement, il est recommandé que quelques itérations supplémentaires sont effectuées de telle sorte que z peut se développer. Si vous arrêtez itération dès que z évasions, il ya la possibilité que l'algorithme de lissage ne fonctionnera pas.

Les estimations de distance

On peut calculer la distance du point c (en ou extérieur intérieur) au point de la plus proche limite d'ensemble de Mandelbrot.

Extérieur estimation à distance

La preuve de la connectivité de l'ensemble de Mandelbrot donne en fait une formule pour la uniformisation de la carte complément $M$ (Et le dérivé de cette carte). Par le Koebe 1/4 théorème, on peut alors estimer la distance entre le point médian de notre pixel et l'ensemble de Mandelbrot jusqu'à un facteur de quatre.

En d'autres termes, à condition que le nombre maximal d'itérations est suffisamment élevée, on obtient une image de l'ensemble de Mandelbrot avec les propriétés suivantes:

Chaque pixel qui contient un point de l'ensemble de Mandelbrot est de couleur noire.
Chaque pixel qui est de couleur noire est proche de l'ensemble de Mandelbrot.

Extérieur estimation de distance peut être utilisé pour colorer complément ensemble de Mandelbrot ensemble

L'estimation de la distance d'un pixel c (un nombre complexe) de l'ensemble de Mandelbrot est donnée par

$b = \ lim_ {n \ to \ infty} 2 \ cdot \ ln (\ {mi P_c ^ {\ circ n} (c)} \ mi) \ cdot \ frac {\ {mi P_c ^ {\ circ} n ( c)} \ mi} {\ mi \ frac {\ partial} {\ partial {c}} P_c ^ {\ circ n} (c) \ mi}$

où

$P_c (z) \,$ signifie polynôme quadratique complexe
$P_c ^ {\ circ n} (c)$ signifie n itérations de $P_c (z) \ z$ ou $z ^ 2 + c \ z$ , À commencer par z = c: $P_c ^ {\ circ 0} (c) = c$ , $P_c ^ {\ circ n + 1} (c) = P_c ^ {\ circ n} (c) ^ 2 + c$ ;
$\ Frac {\ partial} {\ partial {c}} P_c ^ {\ circ n} (c)$ est la dérivée de $P_c ^ {\ circ n} (c)$ par rapport à c. Ce dérivé peut être trouvée en commençant par $\ Frac {\ partial} {\ partial {c}} P_c ^ {\ circ 0} (c) = 1$ et puis $\ Frac {\ partial} {\ partial {c}} P_c ^ {\ circ n + 1} (c) = 2 \ cdot {} P_c ^ {\ circ n} (c) \ cdot \ frac {\ partial} { \ partial {c}} P_c ^ {\ circ n} (c) + 1$ . Cela peut facilement être vérifié en utilisant la règle de la chaîne pour le dérivé.

Du point de vue d'un mathématicien, cette formule ne fonctionne que dans la limite où n tend vers l'infini, mais les estimations très raisonnables peut être trouvé avec quelques itérations supplémentaires après les principales sorties de boucle.

Une fois b se trouve, par le Koebe quart-théorème, nous savons qu'il ne ya pas de point de l'ensemble de Mandelbrot avec la distance de c plus petit que b / 4.

Intérieur estimation de la distance

Les pixels de couleur en fonction de la distance intérieure estimée

Il est également possible d'estimer la distance d'un (ce est à dire, intérieure) Point limitly périodique de la frontière de l'ensemble de Mandelbrot. L'estimation est donnée par $b = \ frac {1- \ mi {\ frac {\ partial} {\ partial {z}} P_c ^ {\ circ} p (z_0)} \ mi ^ 2} {\ mi {\ frac {\ partial} { \ partial {c}} \ frac {\ partial} {\ partial {z}} P_c ^ {\ circ} p (z_0) + \ frac {\ partial} {\ partial {z}} \ frac {\ partial} { \ partial {z}} P_c ^ {\ circ} p (z_0) \ frac {\ frac {\ partial} {\ partial {c}} P_c ^ {\ circ} p (z_0)} {1- \ frac {\ partielle} {\ partial {z}} P_c ^ {\ circ} p (z_0)}} \ mi}$

où

$p$ est la période,
$c$ est le point qui doit être estimée,
$P_c (z)$ est le polynôme quadratique complexe $P_c (z) = z ^ 2 + c$
$P_c ^ {\ circ} p (z_0)$ est $p$ compositions de $P_c (z) \ z$ En commençant par $P_c ^ {\ circ 0} (z) = z_0$
$z_0$ est l'une des caractéristiques $p$ Le secteur qui rendent le attracteur des itérations de $P_c (z) \ z$ commençant par $P_c ^ {\ circ 0} (z) = c$ ; $z_0$ satisfait $z_0 = P_c ^ {\ circ} p (z_0)$ ,
$\ Frac {\ partial} {\ partial {c}} \ frac {\ partial} {\ partial {z}} P_c ^ {\ circ} p (z_0)$ , $\ Frac {\ partial} {\ partial {z}} \ frac {\ partial} {\ partial {z}} P_c ^ {\ circ} p (z_0)$ , $\ Frac {\ partial} {\ partial {c}} P_c ^ {\ circ} p (z_0)$ et $\ Frac {\ partial} {\ partial {z}} P_c ^ {\ circ} p (z_0)$ sont divers dérivés de $P_c ^ {\ circ} p (z)$ , Évalué à $z_0$ .

Donné $p$ et $z_0$ , $P_c ^ {\ circ} p (z_0)$ et ses dérivés peuvent être évalués par:

$\ Begin {align} \ frac {\ partial} {\ partial {c}} \ frac {\ partial} {\ partial {z}} P_c ^ {\ circ 0} (z_0) = 0 & \\ \ frac {\ partielle} {\ partial {z}} \ frac {\ partial} {\ partial {z}} P_c ^ {\ circ 0} (z_0) = 0 & \\ \ frac {\ partial} {\ partial {c}} P_c ^ {\ circ 0} (z_0) = 0 & \\ \ frac {\ partial} {\ partial {z}} P_c ^ {\ circ 0} (z_0) = 1 & \\ P_c ^ {\ circ 0} (z_0) = & z_0 \ end {align}$
$\ Begin {align} \ frac {\ partial} {\ partial {c}} \ frac {\ partial} {\ partial {z}} P_c ^ {\ circ n + 1} (z_0) & = 2 \ cdot (\ frac {\ partial} {\ partial {c}} P_c ^ {\ circ n} (z_0) \ cdot \ frac {\ partial} {\ partial {z}} P_c ^ {\ circ n} (z_0) + P_c ^ {\ circ n} (z_0) \ cdot \ frac {\ partial} {\ partial {c}} \ frac {\ partial} {\ partial {z}} P_c ^ {\ circ n} (z_0)) \\ \ frac {\ partial} {\ partial {z}} \ frac {\ partial} {\ partial {z}} P_c ^ {\ circ n + 1} (z_0) & = 2 \ cdot (\ frac {\ partial} { \ partial {z}} P_c ^ {\ circ n} (z_0) ^ 2 + P_c ^ {\ circ n} (z_0) \ cdot \ frac {\ partial} {\ partial {z}} \ frac {\ partial} {\ partial {z}} P_c ^ {\ circ n} (z_0)) \\ \ frac {\ partial} {\ partial {c}} P_c ^ {\ circ n + 1} (z_0) & = 2 \ cdot P_c ^ {\ circ n} (z_0) \ cdot \ frac {\ partial} {\ partial {c}} P_c ^ {\ circ n} (z_0) + 1 \\ \ frac {\ partial} {\ partial {z }} P_c ^ {\ circ n + 1} (z_0) & = 2 \ cdot P_c ^ {\ circ n} (z_0) \ cdot \ frac {\ partial} {\ partial {z}} P_c ^ {\ circ n } (z_0) \\ P_c ^ {\ circ n + 1} (z_0) & = P_c ^ {\ circ n} (z_0) ^ 2 + c \ end {align}$ .

Analogue au boîtier extérieur, une fois b est trouvée, nous savons que tous les points de la distance de b / 4 c sont à l'intérieur de l'ensemble de Mandelbrot.

Il ya deux problèmes pratiques avec l'estimation de la distance intérieure: d'abord, nous devons trouver $z_0$ précisément, et deuxièmement, nous devons trouver $p$ précisément. Le problème avec $z_0$ est que la convergence de $z_0$ en itérant $P_c (z)$ exige, en théorie, un nombre infini d'opérations. Le problème avec la période est que, parfois, en raison d'erreurs d'arrondi, une période est faussement identifié comme étant un multiple entier de la période réelle (par exemple, une période de 86 est détectée, tandis que la période réelle est seulement 43 = 86/2) . Dans ce cas, la distance est surestimée, ce est à dire, le rayon rapporté pourrait contenir des points en dehors de l'ensemble de Mandelbrot.

Vue 3D: plus petite valeur absolue de l'orbite des points intérieurs de l'ensemble de Mandelbrot

Optimisations

Une façon d'améliorer les calculs est de savoir à l'avance si le point donné se trouve dans la cardioïde ou dans la période de deux ampoule.

Pour éviter d'avoir à faire un très grand nombre d'itérations pour les autres points de l'ensemble, on peut faire "vérifier" la périodicité des moyens -Quels vérifier si un point atteint en réitérant un pixel a été atteint avant. Si oui, le pixel ne peut pas se écarter, et doit être dans l'ensemble. Ce est la plus pertinente pour les calculs en virgule fixe, où il ya une chance relativement élevée de cette périodicité-plein virgule flottante (ou supérieur précision) la mise en œuvre serait rarement aller dans une telle période.

Périodicité vérification est, bien sûr, un compromis: La nécessité de rappeler les points coûte mémoire et de gestion de données des instructions, alors qu'il enregistre des instructions de calcul

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