Poliedro

Algunos poliedros Dodecaedro ( poliedro regular ) Dodecaedro estrellado Pequeño ( Estrella Regular) Icosidodecaedro ( Uniforme) Gran cubicuboctahedron ( Estrella Uniforme) Triacontaedro rómbico ( Uniforme dual) Cúpula pentagonal elongada ( Convexo regular cara) Prisma octogonal ( Prisma Uniforme) Antiprisma cuadrado ( Antiprisma Uniforme)

Un poliedro (poliedros plural o poliedros) se define a menudo como una geométrica objeto con caras planas y bordes rectos (la palabra poliedro viene del griego clásico πολυεδρον, del poli, tallo de πολυς, "muchos" + -edron, forma de εδρον, "base", "asiento", o "cara").

Esta definición de un poliedro no es muy precisa, y para un matemático moderno es bastante insatisfactoria. Grünbaum (1994, p.43) observa que:

La Pecado original en la teoría de poliedros se remonta a Euclides , y por medio de Kepler , Poinsot, Cauchy y muchos otros ... [en que] en cada etapa ... los escritores no pudieron definir qué son los "poliedros '...

Los matemáticos modernos ni siquiera se ponen de acuerdo en cuanto a exactamente lo que hace que algo sea un poliedro.

¿Qué es un poliedro?

Al menos podemos decir que un poliedro se construye a partir de diferentes tipos de elemento o entidad, cada uno asociado con un número diferente de dimensiones:

• 3 dimensiones: El cuerpo está limitado por las caras, y es por lo general el volumen interior.
• 2 dimensiones: A cara está delimitada por un circuito de bordes, y es generalmente un (plano) región plana llama un polígono . Las caras juntas forman la superficie poliédrica.
• 1 dimensión: Un borde se une a un vértice a otro y de una cara a otra, y es generalmente una línea de algún tipo. Los bordes juntos conforman el esqueleto poliédrica.
• 0 dimensiones: A vértice (vértices plural) es una esquina punto.
• Dimensión -1: La nulidad es una especie de no-entidad requerida por abstractas teorías.

De forma más general en las matemáticas y otras disciplinas "poliedro" se utiliza para referirse a una variedad de construcciones relacionadas, algunos geométrica y otros puramente algebraica o abstracto.

Una característica definitoria de casi todo tipo de poliedros es que sólo dos caras se unen a lo largo de cualquier borde común. Esto asegura que la superficie poliédrica está conectada de forma continua y no termina abruptamente o dividida en diferentes direcciones.

Un poliedro es un ejemplo 3-dimensional de la más general politopo en cualquier número de dimensiones.

Características

Poliedros Naming

Poliedros a menudo se denominan de acuerdo con el número de caras. El sistema de nombres se basa de nuevo en griego clásico, por ejemplo tetraedro (4), pentaedro (5), hexaedro (6), heptahedron (7), triacontaedro (30), y así sucesivamente.

A menudo esto es calificado por una descripción de los tipos de rostros presentes, por ejemplo, el Dodecaedro rómbico vs. Dodecaedro pentagonal.

Otros nombres comunes indican que alguna operación se ha realizado en un poliedro más simple, por ejemplo la cubo truncado parece un cubo con sus esquinas cortadas, y cuenta con 14 caras (por lo que también es un ejemplo de un tetrakaidecahedron).

Algunos poliedros especial han crecido sus propios nombres en los últimos años, tales como Monstruo de Miller o el Poliedro Szilassi.

Bordes

Los bordes tienen dos características importantes (a menos que el poliedro es complejo ):

• Un borde se une sólo dos vértices.
• Un borde se une a dos caras.

Estas dos características son duales entre sí.

Característica de Euler

La característica de Euler χ relaciona el número de vértices V, los bordes E, y se enfrenta a F de un poliedro:

χ = V - E + F.

Para simplemente poliedro conectado, χ = 2. Para una discusión detallada, ver Pruebas y Refutaciones por Imre Lakatos.

Dualidad

Por cada poliedro hay una poliedro dual que tiene caras en lugar de los vértices de la original y viceversa. En la mayoría de los casos, el dual se puede obtener por el proceso de movimiento alternativo esférica.

Figura de la cima

Para cada vértice se puede definir una Figura vértice formado por los vértices se unió a ella. El vértice se dice que es regular si se trata de un polígono regular y simétrica con respecto a todo el poliedro.

Poliedros Tradicional

Un dodecaedro

En geometría , un poliedro es tradicionalmente una forma tridimensional que se compone de un número finito de poligonal caras que son partes de los aviones ; las caras se encuentran en pares a lo largo de bordes que son en línea recta segmentos, y los bordes se encuentran en los puntos de llamada vértices. Cubos , prismas y pirámides son ejemplos de poliedros. El poliedro rodea un volumen delimitado en el espacio tridimensional; A veces, este volumen interior se considera que es parte del poliedro, a veces sólo la superficie se considera, y en ocasiones sólo el esqueleto de bordes.

Un poliedro se dice que es Convex si su superficie (que comprende sus caras, aristas y vértices) no cruza a sí mismo y el segmento que une dos puntos cualesquiera del poliedro está contenida en el interior y la superficie.

Poliedros simétricos

Muchos de los poliedros más estudiados son muy simétrica .

Por supuesto, es fácil de distorsionar tales poliedros para que ya no son simétricos. Pero cuando se le da un nombre poliédrica, como icosidodecaedro, la geometría más simétrica es casi siempre implícita, a menos que se indique lo contrario.

Algunos de los nombres más comunes, en particular, se utilizan a menudo con "regular" delante o implícita porque para cada uno hay diferentes tipos que tienen poco en común, excepto por tener el mismo número de caras. Estos son los tetraedro , cubo , octaedro , dodecaedro icosaedro:

Poliedros de las más altas simetrías tiene todo de algún tipo de elemento - caras, bordes y / o vértices, dentro de una sola órbita simetría. Hay varias clases de tales poliedros:

• Isogonal o Vertex-transitiva si todos los vértices son los mismos, en el sentido de que para cualquier par de vértices existe una la simetría del poliedro mapeo de la primera isométricamente en el segundo.
• Isotoxal o -Edge transitiva si todos los bordes son los mismos, en el sentido de que para dos bordes existe una simetría de la cartografía poliedro la primera isométricamente en el segundo.
• Isohedral o Cara transitiva si todas las caras son iguales, en el sentido de que para dos caras existe una simetría de la cartografía poliedro la primera isométricamente en el segundo.
• Regular si es vértice transitivos, biselado transitiva y cara transitiva (esto implica que cada rostro es el mismo polígono regular; también implica que cada vértice es regular).
• Cuasi-regular si es vértice transitivos e-borde transitiva (y por lo tanto tiene caras regulares), pero no cara transitiva. Un doble cuasi-regular es cara transitivos e-borde transitiva (y por lo tanto cada vértice es regular) pero no vértice-transitivo.
• Semi-regular si es vértice transitiva pero no Edge-transitivo, y cada cara es un polígono regular. (Esta es una de las varias definiciones del término, dependiendo de autor. Algunas definiciones se superponen con la clase cuasi-regular). Un doble semi-regular es cara pero no transitiva vértice-transitivo, y cada vértice es regular.
• Uniforme si es vértice transitivos y cada cara es un polígono regular, es decir, que es regular, cuasi-regular o semi-regular. Un doble uniforme es cara transitiva y tiene vértices regulares, pero no es necesariamente vértice transitiva).
• Noble si es cara transitivo y vértice transitiva (pero no necesariamente de canto transitiva). Los poliedros regulares también son nobles; que son la única poliedros uniformes noble.

Un poliedro puede pertenecer al mismo grupo en general simetría como uno de mayor simetría, pero tendrá varios grupos de elementos (por ejemplo caras) en diferentes órbitas de simetría.

Poliedros uniformes y sus duales

Poliedros uniformes son vértice-transitivo y cada cara es un polígono regular. Pueden ser regular, cuasi-regular, o semi-regular, y puede ser convexa o estrellado.

El uniforme duales son cara transitiva y cada figura de la cima es un polígono regular.

Cara-transitividad de un poliedro corresponde al vértice-transitividad de la doble ya la inversa, y el borde-transitividad de un poliedro corresponde al borde transitividad de la doble. En la mayoría de los duales de poliedros uniformes, caras son polígonos irregulares. El poliedros regulares son una excepción, ya que son duales entre sí.

Cada poliedro uniforme comparte la misma simetría que su doble, con las simetrías de caras y vértices simplemente intercambiados. Debido a esto algunas autoridades consideran que los duales como uniforme también. Pero esta idea no es muy frecuente: un poliedro y sus simetrías no son la misma cosa.

El poliedros uniformes y sus duales se clasifican tradicionalmente según su grado de simetría, y si son convexa o no.

Poliedros Noble

La noble poliedro es tanto isohedral (igual de cara) y isogonal (igual esquinas). Además de los poliedros regulares, hay muchos otros ejemplos.

La dual de un poliedro noble también es noble.

Grupos de simetría

El poliédrico grupos de simetría son todos grupos de puntos e incluyen:

• T - quiral simetría tetraédrica; el grupo de rotación para un habitual tetraedro ; orden 12.
• T _d - completo simetría tetraédrica; el grupo de simetría de un habitual tetraedro ; orden 24.
• T _h - simetría piritoedro; orden 24. La simetría de un piritoedro.
• O - quiral simetría octaédrica; el grupo de rotación del cubo y octaedro ; orden 24.
• O _h - completo simetría octaédrica; el grupo de simetría del cubo y octaedro ; orden 48.
• I - quiral simetría icosaédrica; el grupo de rotación de la icosaedro y la dodecaedro; orden 60.
• I _h - completo simetría icosaédrica; el grupo de simetría de la icosaedro y la dodecaedro; ordenar 120.
• C _nv - n simetría piramidal -fold
• D _nh - n simetría prismática -fold
• D _nv - n simetría antiprismatic -fold

Aquellos con simetría quiral no tienen reflexión simetría y por lo tanto tienen dos formas enantiomorfos que son reflejos de sí. Los poliedros de Arquímedes chatas tienen esta propiedad.

Otros poliedros con caras regulares

Caras iguales regulares

Unas pocas familias de poliedros, donde cada cara es el mismo tipo de polígono:

• Deltaedros tiene triángulos equiláteros de rostros.

• Con respecto a los poliedros cuyas caras son todas las plazas: si caras coplanares no están permitidos, incluso si están desconectados, no es sólo el cubo. De lo contrario no es también el resultado de pegar seis cubos a los lados de uno, los siete del mismo tamaño; que tiene 30 caras cuadradas (contando caras desconectadas en el mismo plano que aparte). Esto se puede ampliar en una, dos o tres direcciones: podemos considerar la unión de forma arbitraria muchas copias de estas estructuras, obtenidos por las traducciones de (expresado en tamaños de cubo) (2,0,0), (0,2,0 ), y / o (0,0,2), por lo tanto, con cada par adyacente que tiene un cubo común. El resultado puede ser cualquier conjunto de cubos conectado con posiciones (a, b, c), con números enteros a, b, c de los cuales como máximo una es par.

• No hay ningún nombre especial para poliedros cuyas caras son todas pentágonos o pentagramas equiláteros. Hay infinitamente muchos de ellos, pero sólo uno es convexa: el dodecaedro. El resto se ensamblan por (pegar) combinaciones de los poliedros regulares descrito anteriormente: el dodecaedro, el pequeño dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro estrellado y la gran icosaedro.

No existe un poliedro cuyas caras son todas idénticas y son polígonos regulares con seis o más lados debido a que el vértice de tres hexágonos regulares define un plano. (Ver poliedro inclinación infinita excepciones con zig-zag cifras vértice.)

Deltaedros

La Deltaedro (deltaedros plural) es un poliedro cuyas caras son todas triángulos equiláteros. Hay infinitos deltaedros, pero sólo ocho de ellos son convexos:

• 3 poliedros convexos regular (3 de los sólidos platónicos)
  • Tetraedro
  • Octaedro
  • Icosaedro
• Poliedros convexos 5 no uniforme (5 de los sólidos de Johnson)
  • Bipirámide triangular
  • Bipirámide pentagonal
  • Biesfenoide romo
  • Prisma triangular triaumentado
  • Dipirámide plaza giroelongada

Sólidos de Johnson

Norman Johnson buscado que poliedros no uniforme tenía caras regulares. En 1966 , publicó una lista de 92 sólidos convexos, ahora conocido como el Sólidos de Johnson, y les dieron sus nombres y números. Él no demostró que sólo había 92, pero lo hizo conjetura de que no había otros. Victor Zalgaller en 1969 demostró que la lista de Johnson fue completa.

Otras familias importantes de poliedros

Pirámides

Pyramids se compone de algunos de los ya famosos de todos los poliedros más honrado tiempo.

Stellations y facettings

Stellation de un poliedro es el proceso de ampliación de las caras (dentro de sus aviones), para que se reúnen para formar un nuevo poliedro.

Es el recíproco exacta para el proceso de facetado que es el proceso de eliminación de partes de un poliedro sin crear nuevos vértices.

Zonohedra

La zonohedron es un poliedro convexo donde cada cara es un polígono con inversión de la simetría o, equivalentemente, simetría bajo rotaciones a través de 180 °.

Compuestos

Compuestos poliédricos están formadas como compuestos de dos o más poliedros.

Estos compuestos a menudo comparten los mismos vértices como otros poliedros y se forman a menudo por constelación. Algunas están listadas en el lista de modelos poliedro Wenninger.

Ortogonal poliedros

Un poliedro ortogonal es uno todas cuyas caras satisfacer en ángulos rectos, y todos cuyos bordes son paralelos a los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano. Aparte de una caja rectangular, poliedros son ortogonales no convexo. Son los análogos 3D de 2D polígonos ortogonales (también conocido como polígonos rectilíneos). Poliedros ortogonales se utilizan en la geometría computacional, donde su estructura restringida ha permitido avances en problemas no resueltos por los poliedros arbitraria, por ejemplo, desplegando la superficie de un poliedro a una neto (poliedro).

Las generalizaciones de poliedros

El nombre 'poliedro' ha llegado a ser utilizado para una variedad de objetos que tienen propiedades estructurales similares a poliedros tradicional.

Apeirohedra

Una superficie poliédrica clásica comprende finito, regiones planas delimitadas, se unió en parejas a lo largo de los bordes. Si tal superficie se extiende indefinidamente se denomina apeirohedron. Los ejemplos incluyen:

• Embaldosados o teselaciones del plano.
• Estructuras similares a esponjas llamadas poliedros inclinación infinita.

Ver también: Apeirógono - infinito polígono regular: {∞}

Poliedros Complejo

La poliedro complejo es uno que está construido de unitaria 3-espacio. Este espacio tiene seis dimensiones: tres reales correspondientes al espacio común, con cada uno acompañado de una dimensión imaginaria. Véase, por ejemplo Coxeter (1974).

Poliedros curvo

Algunos campos de estudio permitirá a los poliedros de caras y aristas curvas.

Poliedros esféricos

La superficie de una esfera puede ser dividido por segmentos de línea en regiones delimitadas, para formar un poliedro esférica. Gran parte de la teoría de poliedros simétricos lo más sencillo es derivada de esta manera.

Poliedros esféricos tienen una larga y respetable historia:

• Los primeros poliedros conocidos por el hombre son poliedros esféricos tallada en piedra.
• Poinsot utiliza poliedros esféricos para descubrir los poliedros regulares de cuatro estrellas.
• Coxeter los usó para enumerar todos menos uno de los poliedros uniformes.

Algunos poliedros, como hosohedra, existiendo sólo como poliedros esféricos y no tienen ningún análogo de cara plana.

Poliedros spacefilling curvo

Dos tipos importantes son:

• Burbujas en espumas y espumas.
• Espacial compacto formularios utilizados en la arquitectura. Véase por ejemplo Pearce (1978).

Más hay que decir acerca de estos, también.

Poliedros general

Más recientemente las matemáticas ha definido un poliedro como un conjunto de bienes afín (o euclidiana ) de cualquier espacio n-dimensional que tiene lados planos. Se podría definir como la unión de un número finito de poliedros convexos, donde un poliedro convexo es cualquier conjunto que es la intersección de un número finito de semiespacios. Puede ser limitado o ilimitado. En este sentido, una politopo es un poliedro acotado.

Todos los poliedros tradicionales son poliedros en general, y además hay ejemplos como:

• Un cuadrante en el plano. Por ejemplo, la región del plano cartesiano que consiste en todos los puntos por encima del eje horizontal y a la derecha del eje vertical: {(x, y): x ≥ 0, y ≥ 0}. Sus lados son los dos ejes positivos.
• Un octante en euclidiana 3-espacio, {(x, y, z): x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.
• Un prisma de extensión infinita. Por ejemplo, un prisma cuadrado doblemente infinito en 3-espacio, que consta de un cuadrado en el plano xy xy barrido a lo largo del eje x z: {(x, y, z): 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} .
• Cada célula en una Teselación de Voronoi es un poliedro convexo. En la teselación de Voronoi de un conjunto S, la célula A correspondiente a un punto c ∈ S está limitada (por lo tanto un poliedro tradicional) cuando c se encuentra en el interior de la casco convexo de S, y de lo contrario (cuando c se encuentra en el límite de la envolvente convexa de S) A es ilimitada.

Hollow cara o esquelética poliedros

No es necesario llenar la cara de una figura antes de que podamos llamarlo un poliedro. Por ejemplo Leonardo da Vinci diseñó modelos de marco de los sólidos regulares, que él dibujó para El libro de Pacioli divina proporción. En los tiempos modernos, Branko Grünbaum (1994) hizo un estudio especial de esta clase de poliedros, en la que desarrolló una idea temprana de poliedros abstracto. Definió una cara como un conjunto ordenado de vértices cíclicamente, y permitió que se enfrenta a ser sesgar así como planar.

Tessellations o embaldosados

Tessellations o teselaciones del plano a veces son tratados como poliedros, porque tienen mucho en común. Por ejemplo los regulares se pueden dar Símbolos Schläfli.

Poliedros no geométrica

Se han encontrado varias construcciones matemáticas que tienen propiedades también presentes en poliedros tradicional.

Poliedros topológica

Un politopo topológico es un espacio topológico se administra junto con una descomposición específica en formas que son topológicamente equivalente a politopos convexos y que están unidos entre sí de una manera regular.

Esta cifra se llama simplicial si cada una de sus regiones es una simplex, es decir, en un espacio dimensional n cada región tiene n 1 vértices. El dual de un politopo simplicial se llama simple. Del mismo modo, una clase ampliamente estudiado de politopos (poliedros) es el de poliedros cúbico, cuando el bloque de construcción básico es un cubo dimensional n.

Resumen poliedros

Un poliedro es un resumen parcialmente ordenado conjunto (conjunto parcialmente ordenado) de elementos. Las teorías difieren en detalle, pero esencialmente los elementos del conjunto se corresponden con el cuerpo, caras, bordes y vértices del poliedro. El conjunto vacío corresponde a la politopo null, o nullitope, que tiene una dimensionalidad de -1. Estos Posets pertenecen a la gran familia de politopos abstractos en cualquier número de dimensiones.

Poliedros como gráficos

Cualquier poliedro da lugar a una gráfico, o esqueleto, con vértices y aristas correspondientes. Así gráfico de propiedades terminología y se pueden aplicar a los poliedros. Por ejemplo:

• Debido a Steinitz teorema de poliedros convexos están en correspondencia uno a uno con los grafos planos 3 conectados.
• El tetraedro da lugar a una grafo completo (K _4). Es el único poliedro para hacerlo.
• El octaedro da lugar a una fuertemente gráfico regular, porque los vértices adyacentes siempre tienen dos vecinos comunes, y vértices no adyacentes tienen cuatro.
• La Sólidos de Arquímedes dan lugar a gráficos regulares: 7 de los sólidos de Arquímedes son de grado 3, 4 de grado 4, y los 2 restantes son pares quirales de grado 5.

Historia

Prehistoria

Piedras talladas en formas que muestran las simetrías de varios poliedros se han encontrado en Escocia y pueden ser hasta un 4.000 años de antigüedad. Estas piedras muestran no sólo la forma de varios polyehdra simétrico, sino también las relaciones de dualidad entre algunos de ellos (es decir, que los centros de las caras del cubo da los vértices de un octaedro, y así sucesivamente). Ejemplos de estas piedras están en exhibición en el Sala de John Evans, del Ashmolean Museum de la Universidad de Oxford . Es imposible saber por qué se hicieron estos objetos, o cómo el escultor ganó la inspiración para ellos.

Otros poliedros han supuesto dejado su huella en la arquitectura - cubos y paralelepípedos siendo ejemplos obvios, con las primeras pirámides de cuatro lados del antiguo Egipto también datan de la Edad de Piedra.

La Etruscos precedido los griegos en su conocimiento de al menos algunos de los poliedros regulares, como lo demuestra el descubrimiento cerca Padua (en el norte de Italia ) a finales de 1800 de un dodecaedro hecho de esteatita, y que datan de hace más de 2.500 años (Lindemann, 1987). Cristales Pyritohedric se encuentran en el norte de Italia.

Griegos

Los conocidos primeros registros escritos de estas formas provienen de clásicos griegos autores, que también dieron la descripción matemática primero conocido de ellos. Los griegos anteriores estaban interesados principalmente en el poliedros regulares convexos, mientras que Arquímedes más tarde amplió su estudio a la convexa poliedros uniformes.

Musulmanes y chinos

Tras el final de la era clásica, eruditos islámicos continuaron haciendo avances, por ejemplo, en el siglo X Abul Wafa describe los poliedros esférica regular y quasiregular convexa. Mientras tanto, en China, se utilizó la disección del cubo en su tetraedro característica (orthoscheme) y los sólidos relacionados como base para el cálculo de volúmenes de tierra para ser movido durante las excavaciones de ingeniería.

Renacimiento

Mucho que decir aquí: Piero della Francesca, Pacioli, Leonardo Da Vinci, Wenzel Jamnitzer, Durero, etc. previos a Kepler.

Estrella poliedros

Por casi 2000 años, el concepto de un poliedro se había mantenido como el desarrollado por los antiguos matemáticos griegos.

Johannes Kepler se dio cuenta de que los polígonos estrella podría ser utilizados para construir poliedros estrella, que tienen polígonos regulares no convexos, típicamente pentagramas como caras. Algunos de estos poliedros estrella puede haber sido descubierto antes de la época de Kepler, pero él fue el primero en reconocer que podrían considerarse "normal" si uno retira la restricción de que los politopos regulares convexos. Más tarde, Louis Poinsot dio cuenta de que estrellas figuras de vértice (circuitos alrededor de cada esquina) también pueden ser utilizados, y descubrieron los dos poliedros regulares estrella restante. Cauchy demostró lista de Poinsot completa y Cayley les dio sus nombres en inglés aceptados: (Kepler) la pequeño dodecaedro estrellado y gran dodecaedro estrellado, y (Poinsot de) la gran icosaedro y gran dodecaedro. Colectivamente se les llama la Poliedros de Kepler-Poinsot.

El poliedros Kepler-Poinsot puede ser construido a partir de los sólidos platónicos por un proceso llamado constelación. La mayoría de las constelaciones no son regulares. El estudio de las constelaciones de los sólidos platónicos se le dio un gran impulso por HSM Coxeter y otros en 1938, con el ahora famoso artículo El 59 icosaedro. Este trabajo ha sido recientemente re-publicado (Coxeter, 1999).

El proceso recíproco a stellation se llama facetado (o facetas). Cada constelación de uno politopo es dual, o recíproco, en cierta facetado del politopo dual. El poliedros estrella regular también puede obtenerse a través de facetear los sólidos platónicos. Puente 1974 enumeró los facettings más simples del dodecaedro, y les correspondió a descubrir una constelación del icosaedro que le faltaba a la famosa "59". Más se han descubierto desde entonces, y la historia aún no está terminado.

Ver también:

• Poliedro regular: Historia
• Politopo regular: Historia del descubrimiento.

Poliedros en la naturaleza

Para ocurrencias naturales de poliedros regulares, consulte Poliedro regular: Historia.

Poliedros irregulares aparecen en la naturaleza como cristales .

Libros sobre poliedros

Libros de introducción, también es adecuado para uso escolar

• Cromwell, P .; poliedros, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
• Cundy, HM y Rollett, AP; modelos matemáticos, primero Edn. hbk OUP (1951), 2ª Ed. hbk OUP (1961), 3ª edición. pbk Tarquin (1981).
• Holden; formas, el espacio y la simetría, (1971), Dover PBK (1991).
• Pearce, P y Pearce, S: imprimación poliedros, Van Nost. Reinhold (mayo de 1979), ISBN-10: 0442264968 ISBN-13: 978-0442264963.
• Tarquin publicaciones: libros de recorte y hacen modelos de tarjetas.
• Wenninger, modelos M .; Poliedro para el aula, PBK (1974)
• Wenninger, modelos M .; Poliedro, CUP hbk (1971), PBK (1974).
• Wenninger, M .; modelos esféricos, CUP.
• Wenninger, M .; modelos Dual, CUP.

Nivel de Pregrado

• Coxeter, HSM DuVal, Flather y Petrie; El cincuenta y nueve icosahedra, 3ª edición. Tarquino.
• Coxeter, HSM Doce ensayos geométricos. Reeditado como La belleza de la geometría, de Dover.
• Crecimiento Thompson, Sir D'AW On y forma, (1943). (No estoy seguro si esto es la categoría adecuada para éste, yo no lo he leído).

Diseño y arquitectura sesgo

• Critchlow, K .; Orden en el espacio.
• Pearce, P .; Estructura en la naturaleza es una estrategia para el diseño, el MIT (1978)
• Williams, R .; La base geométrica de la estructura natural, Dover (1979).

Textos matemáticos avanzados

• Coxeter, HSM; politopos regulares tercera Edn. Dover (1973).
• Coxeter, HSM; politopos regulares complejas, CUP (1974).
• Lakatos, Imre; Pruebas y Refutaciones, Cambridge University Press (1976) - la discusión de la prueba de la característica de Euler
• Varios más que añadir aquí.

Libros históricos

• Brückner, Vielecke und Vielflache (polígonos y poliedros), (1900).
• Fejes Toth, L .;