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Homotopie

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Les deux voies audacieuses indiqués ci-dessus sont homotopes par rapport à leurs extrémités. Les lignes fines marquent isocontours d'une homotopie possible.

Dans la topologie , deux en continu des fonctions de l'un espace topologique à un autre sont appelés homotopes ( grecs homos = identiques et topos = lieu) si l'on peut être "constamment déformé" dans l'autre, une telle déformation étant appelé une homotopie entre les deux fonctions. Une utilisation exceptionnelle de homotopie est la définition de groupes et homotopie groupes cohomotopy important invariants dans topologie algébrique.

Dans la pratique, il ya des difficultés techniques en utilisant homotopies avec certains espaces pathologiques. Par conséquent la plupart des topologues algébriques travaillent avec espaces générés compacte, Complexes chimiques ou des Les spectres.

Définition formelle

Une homotopie d'une tasse de café dans un beignet ( tore ).

Formellement, une homotopie entre deux fonctions continues f et g à partir d'un espace topologique X dans un espace topologique Y est définie comme étant une fonction continue H: X × [0,1] → Y de la produit de l'espace X avec le intervalle [0,1] à Y de sorte que, pour tous les points x de X, H (x, 0) = f (x) et H (x, 1) = g (x).

Si nous pensons à la seconde paramètre H comme «temps», alors H décrit une "déformation continue" de f en g: au temps 0 nous avons la fonction f, au temps 1 nous avons la fonction g.

Propriétés

Fonctions continues f et g (tous deux de l'espace topologique X à Y) sont dites homotopes ssi il existe une homotopie H prenant f à g comme décrit ci-dessus. Être homotope est une relation d'équivalence sur l'ensemble des fonctions continues de X à Y. Cette relation d'homotopie est compatible avec la composition de fonctions dans le sens suivant: si f 1, g 1: XY sont homotopes, et f 2, g 2: YZ sont homotopes, leurs compositions f 2 o f 1 et g 2 o g 1: XZ sont homotopes ainsi.

Équivalence d'homotopie et nulle-homotopie

Étant donné deux espaces X et Y, nous disent qu'ils sont homotopie équivalente ou du même type d'homotopie se il existe continue cartes f: XY et g: YX telle que g o f est homotope au carte d'identité id X et f o g est homotope à id Y.

Le f de cartes et g sont appelés équivalences d'homotopie dans ce cas. De toute évidence, tous les homéomorphisme est une équivalence d'homotopie, mais l'inverse ne est pas vrai: par exemple, un disque solide ne est pas homéomorphe à un seul point, bien que le disque et le point sont équivalents homotopie.

Intuitivement, deux espaces X et Y sont équivalents homotopie si elles peuvent être transformées en une autre par pliage, le rétrécissement et l'expansion des opérations. Par exemple, un disque solide ou boule solide est équivalent homotopie à un point, et R 2 - {(0,0)} est équivalent à l'homotopie cercle unité S 1. Ces espaces qui sont équivalentes homotopie à un point sont appelés contractile.

Une fonction f est dit nulle-homotopes se il est homotope à une fonction constante. (Le homotopie de f à une fonction constante est alors parfois appelé null-homotopie.) Par exemple, il est simple de montrer que la carte de la cercle S 1 est nulle-homotope précisément quand il peut être étendu à une carte de la disque D2.

Il résulte de ces définitions qu'un espace X est contractile si et seulement si la carte d'identité de X à lui-même, qui est toujours une homotopie équivalence-est nulle-homotopes.

Invariance Homotopie

Équivalence d'homotopie est important parce que dans topologie algébrique de nombreux concepts sont homotopie invariant, ce est qu'ils respectent la relation d'équivalence homotopie. Par exemple, si X et Y sont des espaces équivalents homotopie, alors:

  • si X est chemin-connecté, il en est Y
  • si X est simplement connexe, alors il en est Y
  • le (singulier) homologie et groupes de cohomologie de X et Y sont isomorphe
  • si X et Y sont connectés chemin, puis le groupes fondamentaux de X et Y sont isomorphes, et sont donc le plus élevé des groupes d'homotopie. Sans l'hypothèse de trajet-connectivité, on a π 1 (X, x 0) isomorphe à π 1 (Y, f (x 0))f: XY est une équivalence d'homotopie et x 0 un point donné dans X.

Un exemple d'un invariant algébrique des espaces topologiques qui ne est pas invariant est homotopy support compact homologie (qui est, grosso modo, l'homologie de la compactification et compactification ne est pas homotopie-invariant).

Catégorie Homotopie

L'idée d'homotopie peut être transformé en une catégorie officielle de théorie des catégories. La catégorie homotopique est la catégorie dont les objets sont des espaces topologiques, et dont les morphismes sont les classes d'équivalence d'homotopie de cartes continues. Deux espaces topologiques X et Y sont isomorphes dans cette catégorie si et seulement si ils sont homotopie équivalent. Puis un foncteur de la catégorie des espaces topologiques est homotopie invariant si elle peut être exprimée comme un foncteur de la catégorie d'homotopie.

Par exemple, des groupes d'homologie sont une homotopie invariant fonctorielle: cela signifie que si f et g sont de X à Y homotopes, le homomorphismes de groupe induite par f et g au niveau de groupes d'homologie sont les mêmes: H n (f) = H n (g): H n (X) → H n (Y) pour tout n. De même, si X et Y sont en outre , puis les homomorphismes de groupes de chemins connectés induites par f et g au niveau de groupes homotopie sont également les mêmes: π n (f) = π n (g): n π (X) → π n (Y).

Homotopie relative

Afin de définir la groupe fondamental, on a besoin de la notion de homotopie par rapport à un sous-espace. Ce sont homotopies qui maintiennent les éléments du sous-espace fixe. Formellement: si f et g sont cartes continues de X à Y et K est un sous-ensemble de X, alors nous disons que f et g sont homotopes par rapport à K se il existe une homotopie H: X × [0,1] → Y entre f et g telle que H (k, t) = f (k) = g (k) pour tout kK et t ∈ [0,1]. En outre, si g est un rétracter de X à K et f est la carte d'identité, ce est connu comme une forte déformation retrait de X à K.

Homotopie

Sur un Collecteur de Lorentz, certaines courbes se distinguent que type temps. Un Homotopie entre deux courbes de type temps est une homotopie telle que chaque courbe intermédiaire est de type temps. Aucun courbe fermée de type temps (CTC) sur une variété de Lorentz est de type temps homotope à un point (ce est, null type temps homotope); un tel collecteur est donc dit être multiconnexe par des courbes de type temps. Un manifold tel que le 3-sphère peut être simplement connexe (par ne importe quel type de courbe), et pourtant être de type temps se multiplient connecté.

Propriété d'extension Homotopie

Une autre propriété utile impliquant homotopie est le propriété d'extension homotopie, qui caractérise l'extension d'une homotopie entre deux fonctions à partir d'un sous-ensemble d'un certain jeu à l'ensemble lui-même. Il est utile lorsqu'il se agit de cofibrations.

Isotopie

Au cas où les deux fonctions continues données f et g de l'espace topologique X à l'espace topologique Y sont homéomorphismes , on peut se demander si elles peuvent être connectés »à travers homéomorphismes '. Cela donne lieu à la notion de isotopie, qui est une homotopie, H, dans la notation utilisé avant, de telle sorte que pour chaque t fixe, H (x, t) donne un homéomorphisme.

Exiger que deux homéomorphismes être isotopique est vraiment une exigence plus forte que celle qu'ils soient homotopes. Par exemple, la carte de la disque unité dans R 2 défini par f (x, y) = (- x, - y) est équivalent à un 180 degrés rotation autour de l'origine, de sorte que la carte d'identité et f sont isotopique car ils peuvent être reliés par des rotations. Cependant, la carte de l'intervalle [-1,1] dans R définie par f (x) = - x ne est pas à l'identité isotopique. Grosso modo, toute homotopie de f à l'identité aurait pour échanger les points de terminaison, ce qui signifierait qu'ils auraient à «passer à travers» l'autre. En outre, f a changé l'orientation de l'intervalle, d'où il ne peut pas être isotopique à l'identité.

En topologie géométrique pour exemple la théorie des nœuds -le idée d'isotopie est utilisé pour construire des relations d'équivalence. Par exemple, lorsque deux noeuds doivent être considérés de la même? Nous prenons deux noeuds, K 1 et K 2, dans trois espace tridimensionnel. L'idée intuitive de déformer une à l'autre doit correspondre à un chemin d'homéomorphismes: une isotopie commençant par l'homéomorphisme de l'espace tridimensionnel identité, et se terminant à un homéomorphisme, h, h se déplace de telle sorte que K 1 à K 2. Une isotopie ambiante, étudié dans ce contexte, est une isotopie de l'espace plus grand, considérée à la lumière de son action sur la sous-variété intégré.

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