La bouteille de Klein
Renseignements généraux
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En mathématiques , la bouteille de Klein est un certain non- orientable surface, ce est à dire, une surface (une à deux dimensions espace topologique) sans côtés distincts et «internes» «extérieur». Autres objets non orientables connexes comprennent la Ruban de Möbius et la plan projectif réel. Tandis qu'un ruban de Möbius est un objet à deux dimensions avec un côté et un bord, une bouteille de Klein est un objet tridimensionnel avec un côté et sans arêtes. (A titre de comparaison, une sphère est un objet tridimensionnel sans arêtes et deux côtés).
La bouteille de Klein a été décrite en 1882 par l' allemand mathématicien Felix Klein. Il a été initialement nommé la «surface Klein" Kleinsche Fläche; Cependant, cela a été mal interprété comme Kleinsche Flasche "bouteille de Klein", qui a finalement conduit à l'adoption de ce terme dans la langue allemande ainsi.
Construction
Commencez avec un carré, puis coller ensemble les bords de couleur correspondant, dans le diagramme suivant, de sorte que les flèches correspondance. Plus formellement, la bouteille de Klein est le espace quotient décrit comme le carré [0,1] × [0,1] dont les côtés sont définis par les relations (0, y) ~ (1, y) pour 0 ≤ y ≤ 1 et (x, 0) ~ (1 - x, 1) pour 0 ≤ x ≤ 1:
Cette place est un polygone fondamental de la bouteille de Klein.
Notez que ce est un "abstrait" collage en ce sens que d'essayer de réaliser ce résultat en trois dimensions en une bouteille de Klein auto-intersection. La bouteille de Klein, bon, ne pas se entrecroiser. Néanmoins, il est un moyen de visualiser la bouteille de Klein comme étant contenue dans quatre dimensions.
Collez les flèches rouges de la place ensemble (côtés gauche et droit), résultant dans un cylindre. Pour coller les extrémités ensemble afin que les flèches sur le match cercles, passent une extrémité à travers le côté du cylindre. Notez que cela crée un cercle d'auto-intersection. Il se agit d'un immersion de la bouteille de Klein en trois dimensions.
En ajoutant une quatrième dimension de l'espace à trois dimensions, l'auto-intersection peut être éliminée. Peu à peu pousser un morceau du tube contenant l'intersection de l'espace de trois dimensions d'origine. Une analogie utile est de considérer une courbe d'auto-intersection sur le plan; auto-intersections peuvent être éliminés en soulevant un brin de l'avion.
Cette immersion est utile pour visualiser de nombreuses propriétés de la bouteille de Klein. Par exemple, la bouteille n'a pas de limite Klein, où la surface se arrête brusquement, et il est non-orientable, comme en témoigne l'unilatéralité de l'immersion.
Le modèle physique commun d'une bouteille de Klein est une construction similaire. Le British Science Museum a exposé une collection de verre soufflé à la main des bouteilles Klein, présentant de nombreuses variations sur ce thème topologique. Les bouteilles datent de 1995 et ont été faites pour le musée par Alan Bennett. Clifford Stoll, auteur de L'Oeuf du Coucou, fabrique des bouteilles Klein et les vend via l' Internet au Bouteille Acme Klein.
Propriétés
La bouteille de Klein peut être considéré comme un Faisceau de fibres de la manière suivante: on prend la place de dessus étant égal à E, l'espace total, tandis que l'espace de base B est donnée par l'intervalle unitaire en x, et la projection π est donnée par π (x, y) = x. Depuis les deux extrémités de l'intervalle unitaire dans x sont identifiés, l'espace de base B est en fait le cercle S 1, et ainsi de la bouteille de Klein est la torsadée S 1 -bundle ( cercle paquet) sur le cercle.
Comme le Ruban de Möbius, la bouteille de Klein est un différentiable deux dimensions collecteur qui ne est pas orientable. Contrairement à la bande de Möbius, la bouteille de Klein est un collecteur fermé, ce qui signifie qu'il est un compact collecteur sans limite. Alors que la bande de Möbius peut être intégré dans trois dimensions espace euclidien R 3, la bouteille de Klein ne peut pas. Il peut toutefois être intégré dans R 4,.
Le flacon peut être réalisé Klein (au sens mathématique, car il ne peut pas se faire sans permettre à la surface de se coupent) en joignant les bords de deux bandes de Möbius ensemble, comme décrit dans ce qui suit anonyme Limerick :
- Un mathématicien du nom de Klein
- Pensait que le ruban de Möbius était divin.
- Il a dit: "Si vous colle
- Les bords des deux,
- Vous obtiendrez une bouteille bizarre comme le mien ".
Il peut également être réalisé par pliage d'une bande de Möbius en deux sur la longueur et à fixer le bord lui-même.
Six couleurs suffisent pour colorier ne importe quelle carte sur la surface d'une bouteille de Klein; ce est la seule exception à la Conjecture Heawood, une généralisation du théorème des quatre couleurs , ce qui nécessiterait sept.
Une bouteille de Klein est équivalente à une sphère plus deux bonnets croisés.
Dissection
Dissection d'une bouteille de Klein en deux moitiés le long de son plan de symétrie résulte deux en miroir bandes de Möbius, ce est à dire une avec un demi-tour à gauche et l'autre avec un demi-tour à droite (l'un d'eux est illustré sur la droite). Rappelez-vous que l'intersection photo ne est pas vraiment là. En fait, il est également possible de couper la bouteille de Klein en un seul ruban de Möbius.
Paramétrage
La «figure 8» immersion de la bouteille de Klein a un paramétrage particulièrement simple:
Dans cette immersion, le cercle d'auto-intersection géométrique est un cercle dans le plan xy. Le r constante positive est le rayon de ce cercle. Le paramètre u donne l'angle dans le plan xy, et c indique la position autour de la section transversale en forme de huit.
Le paramétrage de l'immersion en 3 dimensions de la bouteille elle-même est beaucoup plus compliqué. Voici une version simplifiée:
où
pour 0 ≤ u <2π et 0 ≤ v <2π.
Dans ce paramétrage, u résulte de la longueur du corps de la bouteille tandis que v va autour de sa circonférence.
Généralisations
La généralisation de la bouteille de Klein à la hausse genre est donnée dans l'article sur la polygone fondamental.
Surface Klein
Une surface Klein est, comme pour les surfaces de Riemann , une surface avec un atlas permettant que le fonctions de transition peuvent être composées avec complexe conjugaison peut obtient ce qu'on appelle la structure dianalytic.
