Espace compact

Renseignements généraux

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En mathématiques , un sous-ensemble de l'espace euclidien R ⁿ est appelé compacte si elle est fermé et délimitée. Par exemple, dans R, fermé le intervalle [0, 1] est compact, mais l'ensemble des entiers Z ne est pas (elle ne est pas délimitée) et ne est la pause de la mi-ouverte [0, 1) (il ne est pas fermé).

Une approche plus moderne consiste à appeler un espace topologique compact si chacun de ses capots ouverts a une sous-couverture finie. Le Heine-Borel théorème montre que cette définition est équivalente à "fermé et borné» pour des sous-ensembles de l'espace euclidien.

Remarque: Certains auteurs tels que Bourbaki utiliser le terme «quasi-compact" à la place, et réserver le terme "compact" pour les espaces topologiques qui sont Séparé et «quasi-compact". Un ensemble compact simple est parfois considéré comme un compactum; suite à la latine seconde déclinaison (neutre), la forme plurielle correspondante est compacta.

Histoire et la motivation

Le terme a été introduit par compacte Fréchet en 1906 .

Il est reconnu depuis longtemps que la propriété comme compacité est nécessaire de prouver de nombreux théorèmes utiles. Il fut un temps que "compact" signifiait "séquentiellement compacte" (chaque séquence a une suite convergente). Ce est alors principalement espaces métriques ont été étudiés. La définition de «couvrant compact" est devenue plus importante parce qu'elle nous permet de considérer les espaces topologiques généraux, et la plupart des anciens résultats sur les espaces métriques peut être généralisée à ce paramètre. Cette généralisation est particulièrement utile dans l'étude de espaces de fonctions, dont beaucoup ne sont pas des espaces métriques.

L'une des principales raisons pour étudier les espaces compacts est parce qu'ils sont à certains égards très similaires à ensembles finis: il ya beaucoup de résultats qui sont faciles à montrer pour ensembles finis, dont les preuves emporterez avec des changements minimes aux espaces compacts. On dit souvent que «compacité est la prochaine meilleure chose à finitude". Voici un exemple:

Supposons que X est un Espace séparé, et nous avons un point x dans X et une partie finie A de X ne contenant pas x. Ensuite, nous pouvons x séparée et un par quartiers: pour chaque a dans A, soit u (x) et V (a) soient quartiers disjoints contenant x et un, respectivement. Puis l'intersection de tous les U (x) et l'union de tous les V (a) sont les quartiers exigée de x et A.

Notez que si A est infinie, la preuve échoue, parce que l'intersection de arbitrairement de nombreux quartiers de x pourrait ne pas être un voisinage de x. La preuve peut être "sauvé", cependant, si A est compact: nous prenons simplement une sous-couverture finie de la couverture {V (a)} de A. De cette façon, nous voyons que dans un espace séparé, ne importe quel point peut être séparé par des quartiers de tout ensemble compact ne en contenant pas. En fait, en répétant l'argument montre que les deux ensembles compacts disjoints dans un espace séparé peuvent être séparés par quartiers - à noter que ce est précisément ce que nous obtenons si nous remplaçons «point» (c.-à- singleton set) avec "compact" dans le séparé séparation axiome. Beaucoup des arguments et des résultats dans des espaces compacts suivent un tel motif.

Définitions

Compacité des sous-ensembles de R ⁿ

Pour tout sous-ensemble de l'espace euclidien R ^n, les quatre conditions suivantes sont équivalentes:

Chaque couvercle ouvert a un fini sous-couverture. Ce est la définition la plus couramment utilisée.
Chaque séquence dans l'ensemble a une suite convergente, dont le point limite appartient à l'ensemble.
Chaque sous-ensemble infini de l'ensemble a une point d'accumulation dans l'ensemble.
L'ensemble est fermé et délimitée. Ce est la condition qui est plus facile à vérifier, par exemple, un fermé intervalle ou fermé n -Ball.

En d'autres espaces, ces conditions peuvent être ou ne pas être équivalents, en fonction des propriétés de l'espace.

Notez que bien que la compacité est une propriété de l'ensemble lui-même (avec sa topologie), closedness est relatif à un espace, il est en; ci-dessus "fermé" est utilisé dans le sens de la fermeture dans R ^n. Un ensemble qui est fermé par exemple Q ⁿ est généralement pas fermé dans R ^n, donc pas compact.

Compacité des espaces topologiques

Le "sous-couverture finie" propriété de l'alinéa précédent est plus abstrait que le «fermé et borné", mais il a l'avantage qu'il peut être donné en utilisant le Topologie induite sur un sous-ensemble de R ^n, ce qui élimine la nécessité d'utiliser une métrique ou un espace ambiant. Ainsi, la compacité est une propriété topologique. Dans un sens, l'intervalle unité fermée [0,1] est intrinsèquement compacte, peu importe comment il est intégré dans R ou R ^n.

Un espace topologique X est défini comme compact si toutes ses housses ouverts ont une sous-couverture finie. Formellement, cela signifie que

pour chaque collection arbitraire $\ {U_ \ alpha \} _ {\ alpha \ in A}$ de sous-ensembles ouverts de $X$ tel que $\ Bigcup _ {\ alpha \ in A} U_ \ alpha \ supseteq X$ , Il existe une partie finie $J \ sous-ensemble A$ tel que $\ Bigcup_ {i \ dans J} U_i \ supseteq X$ .

Une définition équivalente souvent utilisé est donnée en termes de propriété intersection finie: si ne importe quelle collection d'ensembles fermés satisfaisant la propriété intersection finie a intersection non vide, l'espace est compact. Cette définition est duale de l'habituel déclaré en termes d'ensembles ouverts.

Certains auteurs demandent qu'un espace compact aussi être Séparé, et la version non-séparé est ensuite appelée quasicompact.

Des exemples d'espaces compacts

Tout espace topologique fini, y compris le ensemble vide, est compact. Légèrement plus généralement, ne importe quel espace avec un topologie finie (qu'un nombre fini de ensembles ouverts) est compact; ce qui inclut notamment la topologie triviale.
Le fermé intervalle unitaire $[0, 1]$ est compact. Cela découle de la Théorème de Heine-Borel; prouver ce théorème est à peu près aussi difficile que de prouver directement que $[0,1]$ est compact. L'intervalle ouvert $(0,1)$ ne est pas compacte: la couvercle ouvert $(1 / n, 1-1 / n)$ pour $n = 3,4, ...$ n'a pas de sous-couverture finie.
Pour chaque nombre naturel n, le n - sphère est compact. Encore une fois du théorème Heine-Borel, la boule unité fermée de toute dimension finie espace vectoriel normé est compact. Ce ne est pas vrai pour les dimensions infinies; en fait, un espace vectoriel normé est de dimension finie si et seulement si son boule unité fermée est compact.
Le Cantor ensemble est compact. Depuis la p entiers -adiques sont homéomorphe à l'ensemble de Cantor, ils forment aussi un ensemble compact. Depuis un ensemble fini contenant des éléments de p est compact, ce qui montre que le dénombrable produit d'ensembles finis est compact, et est donc un cas particulier de Théorème de Tykhonov.
Considérons l'ensemble $K$ de toutes les fonctions $f: \ mathbb {R} \ rightarrow [0,1]$ à partir de la droite réelle de nombre de l'intervalle de l'unité de fermeture, et définir une topologie sur $K$ de sorte qu'une séquence $\ {F_n \}$ en $K$ converge vers $f \ K$ si et seulement si $\ {F_n (x) \}$ converge vers $f (x)$ pour tous $x \ in \ mathbb {R}$ . Il ya seulement une telle topologie; il est appelé le topologie de la convergence simple. Puis $K$ est un espace topologique compact, encore une conséquence du théorème de Tychonoff.
Considérons l'ensemble $K$ de toutes les fonctions $f \ colon [0,1] \ à [0,1]$ satisfaisant la Condition de Lipschitz $| F (x) -f (y) | \ le | x-y |$ pour tous $x, y \ in [0,1]$ et envisager sur $K$ la métrique induite par la distance uniforme $d (f, g) = \ sup \ {| f (x) -g (x) | \ côlon x \ in [0,1] \}$ . Puis par Ascoli-Arzelà théorème l'espace $K$ est compact.
Tout espace portant le topologie cofini est compact.
Tout localement compact espace séparé peut être transformé en un espace compact en ajoutant un point unique à elle, par le biais de Alexandroff compactifié. Le compactifié de $\ Mathbb {R}$ est homéomorphe au cercle $S ^ 1$ ; celui-compactifié de $\ Mathbb {R} ^ 2$ est homéomorphe à la sphère $S ^ 2$ . Utilisation de la compactifié, on peut également facilement construire des espaces compacts qui ne sont pas séparé, en commençant par un espace non-séparé.
Le spectre de toute continu opérateur linéaire sur une Espace de Hilbert est un compact du nombre complexe C. Si l'espace de Hilbert est de dimension infinie, alors ne importe quel sous-ensemble compact de C se présente de cette manière, que le spectre de certaines opérateur linéaire continue sur l'espace de Hilbert.
Le spectre d'un anneau commutatif ou Algèbre de Boole est compact.
Le Hilbert cube est compact.
Le bon ordre ou topologie gauche topologie de commande sur toute délimitée ensemble totalement ordonné est compact. En particulier, L'espace de Sierpinski est compact.
Le Premier spectre d'un anneau commutatif avec le Topologie de Zariski est un espace compact, important dans géométrie algébrique. Ces spectres premiers sont presque jamais Espaces Hausdorff.

Théorèmes

Certains théorèmes liés à la compacité (voir la Topologie glossaire pour les définitions):

Un image continue d'un espace compact est compact.
Le théorème de la valeur extrême: une fonction numérique continue sur un espace compact non vide est bornée et atteint sa borne supérieure.
Un sous-ensemble fermé d'un espace compact est compact.
Un sous-ensemble compact d'un Espace séparé est fermé.
Un sous-ensemble compact non vide des nombres réels a un plus grand élément et un élément moins.
Un sous-ensemble de euclidien n -espace est compact si et seulement si il est fermé et borné. ( Théorème de Heine-Borel)
Un espace métrique (ou espace uniforme) est compact si et seulement si il est complète et totalement délimitée.
Le produit de ne importe quelle collection d'espaces compacts est compact. ( Théorème de Tykhonov, ce qui équivaut à la axiome du choix)
Un espace séparé est compacte normal.
Chaque carte continue à partir d'un espace compact à un espace séparé est fermé et bon. Il se ensuit que tous continu bijection d'un espace compact pour un espace séparé est un homéomorphisme .
Un espace métrique (ou plus généralement tout première dénombrable espace uniforme) est compact si et seulement si chaque séquence dans l'espace a une séquence convergente.
Un espace topologique est compact si et seulement si tous les net sur l'espace a un sous-réseau convergent.
Un espace topologique est compact si et seulement si tous les filtre sur l'espace a un raffinement convergente.
Un espace topologique est compact si et seulement si tous les ultrafiltre sur l'espace est convergente.
Un espace topologique peut être intégré dans un espace séparé compact si et seulement si ce est un Espace complètement régulier.
Chaque espace topologique X est un sous-espace dense d'un espace compact qui possède au plus un point de plus que X. ( Alexandroff compactifié)
Si l'espace métrique X est compact et un recouvrement ouvert de X est donnée, alors il existe un certain nombre δ> 0 tel que chaque sous-ensemble de X de diamètre <δ est contenue dans un membre de la couverture. ( Le numéro de Lebesgue lemme)
Si un espace topologique a un sous-base de sorte que chaque couverture de l'espace par les membres de la sous-base a une sous-couverture finie, l'espace est compact. ( Théorème de sous-base de Alexander)
Deux espaces compacts séparé X ₁ et X ₂ sont homéomorphes si et seulement si leur anneaux de continus à valeurs réelles fonctions C (X ₁₎ et C (X ₂₎ sont isomorphe. ( Théorème de Gelfand-Naimark)

D'autres formes de compacité

Il ya un certain nombre de propriétés topologiques qui sont équivalentes à compacité espaces métriques, mais sont non équivalents dans les espaces topologiques généraux. Ceux-ci comprennent les suivantes.

Séquentiellement compacte: Chaque séquence a une suite convergente.
Semi-compact: Chaque couvercle ouvert dénombrable a une sous-couverture finie. (Ou, ce qui revient, chaque sous-ensemble infini a un point ω-accumulation.)
Pseudocompact: Chaque valeur réelle continue fonction de l'espace est limité.
Faiblement semi-compact (ou point limite compact): Chaque sous-ensemble infini a une point d'accumulation.

Si toutes ces conditions sont équivalentes pour espaces métriques, en général, nous ont les implications suivantes:

Espaces compacts sont semi-compact.
Séquentiellement espaces compacts sont semi-compact.
Dénombrable espaces compacts sont pseudocompact et faiblement semi-compact.

Non chaque espace semi-compact est compact; un exemple est donné par le premier ordinal dénombrable à l'ordre topologie. Non chaque espace compact est séquentiellement compacte; un exemple est donné par deux ^[0,1], de la topologie du produit.

Un espace métrique est appelée pré-compacte ou le cas échéant totalement délimité séquence a une séquence de Cauchy; cela peut être généralisée à espaces uniformes. Pour les espaces métriques complets ce qui équivaut à la compacité. Voir relativement compact pour la version topologique.

Une autre notion liée qui (par la plupart des définitions) est strictement plus faible que la compacité est compacité locale.

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