Le triangle de Pascal

Saviez-vous ...

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$\ Begin {matrix} &&&&& 1 \\ &&&& 1 && 1 \\ &&& 1 && && 2 1 1 \\ && && && 3 3 && 1 \\ & 1 && && 4 6 4 && && 1 \ end {matrix}$

Les cinq premières lignes du triangle de Pascal

En mathématiques , le triangle de Pascal est un arrangement géométrique des coefficients binomiaux dans un triangle . Il est nommé d'après Blaise Pascal dans une grande partie du monde occidental, bien que d'autres mathématiciens ont étudié il siècles avant lui dans l'Inde , la Perse , la Chine et l'Italie . Les lignes du triangle de Pascal sont classiquement énumérés en commençant par la ligne zéro, et les numéros de lignes impaires sont généralement décalés par rapport aux nombres de lignes paires. Une construction simple du triangle se déroule de la manière suivante. Sur la ligne de zéro, ne écrire que le nombre 1. Ensuite, pour construire les éléments de lignes suivantes, ajouter le numéro directement au-dessus et à gauche avec le nombre directement au-dessus et à droite pour trouver la nouvelle valeur. Si le nombre à droite ou à gauche ne est pas présente, le remplacer par un zéro à sa place. Par exemple, le premier numéro de la première ligne est 0 + 1 = 1, tandis que les numéros 1 et 3 de la troisième rangée sont ajoutés pour produire le numéro 4 dans la quatrième rangée.

Chaque chiffre dans le triangle est la somme des deux directement au-dessus.

Cette construction est en relation avec des coefficients binomiaux par La règle de Pascal, qui stipule que si

${N \ choisir k} = \ frac {n!} {K! (N-k)!}$

est le kième coefficient binomial dans le développement du binôme de (x + y) ^n, où n! est la factorielle de n, puis

${N \ choisir k} = {n-1 \ choisir k-1} + {n-1 \ choisir k}$

pour tout entier n positif ou nul et tout entier k compris entre 0 et n.

Le triangle de Pascal a élevé généralisations dimensions. La version en trois dimensions est appelée Pyramide de Pascal ou de tétraèdre de Pascal, tandis que les versions généraux sont appelés Les simplexes de Pascal - Voir aussi pyramide , tétraèdre , et simplex.

Le triangle

Voici rangées de zéro à seize du triangle de Pascal:

                                                 1
                                              1 1
                                           1 2 1
                                        1 3 3 1
                                     1 4 6 4 1
                                  1 5 10 10 5 1
                               1 6 15 20 15 6 1
                            1 7 21 35 35 21 7 1
                         1 8 28 56 70 56 28 8 1
                      1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
                   1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
                1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
             1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
          1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
       1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
    1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1
 1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1

Triangle et binomiale les expansions de Pascal

Le triangle de Pascal détermine les coefficients qui se posent dans expansions binomiale. Pour un exemple, envisager l'expansion

(X + y) = x ² + ² 2 + xy = y ² 1 x ² y 2 + ⁰ x ¹ y ¹ + y 1 x ^{2 0.}

Remarquez les coefficients sont les nombres dans la rangée deux de Pascal triangle: 1, 2, 1. En général, quand un binomiale comme x + y est élevé à une puissance de nombre entier positif, nous avons:

(X + y) = a ⁿ x ⁿ ₀ + a ₁ x + y ^n-1 x ⁿ ₂ y ^{2 -2} + ... + a _n ^{n -1} _-1 xy + a _n y ^n,

où les coefficients a _i dans cette expansion sont précisément les numéros sur la ligne n du triangle de Pascal. Autrement dit,

$a_i = {n \ choisir i}.$

Ceci est le binôme.

Notez que l'ensemble de la diagonale droite du triangle de Pascal correspond au coefficient de y ⁿ dans ces expansions binomiales, tandis que les prochaines diagonale correspond au coefficient de xy ^{n -1} et ainsi de suite.

Pour voir comment le binôme se rapporte à la construction simple du triangle de Pascal, considérons le problème de calcul des coefficients de l'expansion de (x + 1) ^{n 1} en termes de coefficients correspondant de (x + 1) ⁿ (valeur Y = 1 pour simplifier). Supposons donc que

$(X + 1) ^ n = \ sum_ {i = 0} ^ n a_i x ^ i.$

Maintenant

$(X + 1) ^ {n + 1} = (x + 1) (x + 1) = x ^ n (x + 1) + n ^ (x + 1) n = ^ \ sum_ {i = 0} ^ n a_i x ^ {i + 1} + \ sum_ {i = 0} ^ n a_i x ^ i.$

Les deux sommations peuvent être réorganisées comme suit:

$\ Begin {align} et \ sum_ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i + 1} + \ sum_ {i = 0} ^ n a_i x ^ i \\ & {} = \ sum_ {i = 1} ^ {n + 1} a_ {i-1} x ^ {i} + \ sum_ {i = 0} ^ n a_i x ^ i \\ & {} = \ sum_ {i = 1} ^ {n} a_ {i-1} x ^ {i} + \ sum_ {i = 1} ^ n a_i x ^ i + a_0x ^ 0 + a_ {n} x ^ {n + 1} {} \\ & = \ sum_ {i = 1} ^ {n} (a_ {i-1} + a_i) x ^ {i} + a_0x ^ 0 + a_ {n} x ^ {n + 1} {} \\ & = \ sum_ {i = 1} ^ {n} (a_ {i-1} + a_i) x ^ {} i + x + x ^ 0 ^ {n + 1} \ end {align}$

(À cause de la façon dont élever un polynôme dans un réseau d'alimentation, un ₀ = a _n = 1).

Nous avons maintenant une expression pour le polynôme (x + 1) ^{n 1} en termes de coefficients de (x + 1) ⁿ (ce sont les a _i s), ce est ce que nous avons besoin si nous voulons exprimer une ligne dans termes de la ligne au-dessus. Rappelons que tous les termes d'une diagonale allant du coin supérieur gauche à l'angle inférieur droit correspondent à la même puissance de x, et que les a-termes sont les coefficients du polynôme (x + 1) ^n, et nous déterminer les coefficients de (x + 1) ^{n 1.} Or, pour tout i 0 pas donnée ou n + 1, le coefficient du terme x ⁱ dans le polynôme (x + 1) ⁿ est égal à ¹ a _i (la figure ci-dessus et à la gauche de la figure pour déterminer , puisque ce est sur la même diagonale) + un _i-1 (le chiffre à la droite immédiate de la première figure). Ce est en effet la règle simple pour construire triangle rangée par rangée de Pascal.

Il ne est pas difficile à tourner cet argument dans une preuve (par induction mathématique) du binôme.

Une conséquence intéressante du théorème binomial est obtenu en réglant les deux variables x et y égal à un. Dans ce cas, nous savons que $(1 + 1) = 2 ^ n ^ n$ , Et ainsi

${N \ choisissez 0} + {n \ choisissez 1} + \ cdots + {n \ choisir n-1} + {n \ n choisir} = 2 ^ n.$

En d'autres termes, la somme des entrées de la n-ième rangée du triangle de Pascal est la n ième puissance de deux.

Patterns et propriétés

Le triangle de Pascal possède de nombreuses propriétés et contient de nombreux modèles de chiffres.

Les diagonales

Certains modèles simples sont immédiatement apparents dans les diagonales du triangle de Pascal:

Les diagonales passant le long des bords gauche et droit contiennent une seule de.
Les diagonales à côté des diagonales de bord contiennent les nombres naturels dans l'ordre.
Déplacement vers l'intérieur, la prochaine paire de diagonales contient la nombres triangulaires dans l'ordre.
La prochaine paire de diagonales contient la tétraédriques numéros dans l'ordre, et la paire suivante donner numéros de pentatope. En général, chaque paire suivante de diagonales contient la dimension supérieure suivante "d - simplex "chiffres, qui peuvent être définies comme

$\ Textrm {tri} _1 (n) = n \ quad \ mbox {et} \ quad \ textrm {tri} _ {d} (n) = \ sum_ {i = 1} ^ n \ mathrm {} _ {tri d -1} (i).$

Une autre formule est la suivante:

$\ Textrm {tri} _d (n) = \ begin {} cas 1 & \ mbox {if} d = 0 \\ n & \ mbox {} si d = 1 \\ \ displaystyle \ frac {1} {d!} \ prod_ {k = 0} ^ {d}-1 (n + k) & \ mbox {if} d \ ge 2. \ end {} cas$

La signification géométrique d'une fonction tri _d est: tri _d (1) = 1 pour tout j. Construire un d - dimensionnelle triangle (un triangle trois dimensions est un tétraèdre ) en plaçant des points supplémentaires en dessous d'un point initial, correspondant à tri _d (1) = 1. Placer ces points d'une manière analogue à l'emplacement des nombres dans le triangle de Pascal. Pour trouver _d tri (x), un total de x points qui composent la forme cible. tri _d (x) égale le nombre total de points dans la forme. Un triangle de dimension 1 est simplement une ligne, et par conséquent, _une tri (x) = x, qui est la séquence de nombres naturels. Le nombre de points dans chaque couche correspond à tri _{d - 1} (x).

Triangle de Sierpinski

Autres modèles et propriétés

Le motif obtenu par la coloration que les nombres impairs dans le triangle de Pascal ressemble étroitement à la fractale appelé Triangle de Sierpinski, et cette ressemblance devient de plus en plus précise que plusieurs lignes sont considérées; à la limite, que le nombre de lignes se rapproche de l'infini, le motif résultant est le triangle de Sierpinski. Plus généralement, les numéros pourraient être colorées différemment selon si oui ou non ils sont multiples de 3, 4, etc .; il en résulte d'autres modèles et combinaisons.

Imagine chaque nombre dans le triangle est un noeud dans un réseau qui est connecté aux numéros adjacents supérieurs et inférieurs. Maintenant, pour ne importe quel nœud de la grille, compter le nombre de chemins là dans la grille (sans revenir en arrière) qui relient ce nœud pour le nœud supérieur (1) du triangle. La réponse est le nombre Pascal associé à ce noeud. L'interprétation du nombre dans le triangle de Pascal que le nombre de chemins à ce numéro de la pointe signifie que sur un Plinko plateau de jeu en forme de triangle, la probabilité de gagner des prix plus près du centre sera plus élevé que gagner des prix sur les bords.

La valeur de chaque ligne, si chaque numéro il est considéré comme un lieu nombres décimaux et de plus de 9 sont reportés en conséquence, est une puissance de 11 (plus précisément, 11 ^n, où n est le numéro de la ligne). Par exemple, la deuxième ligne indique «1, 2, 1», qui est de 11 ² (121). Dans la ligne de cinq, '1, 5, 10, 10, 5, 1' est traduit en 161051 après avoir effectué les valeurs plus, ce qui est 11 ^5. Cette propriété se explique facilement par la mise en x = 10 dans le développement du binôme (x + 1) ^{le numéro de ligne,} et en ajustant les valeurs pour se adapter dans le système décimal.

Des modèles plus subtiles

Il ya aussi plus surprenants, motifs subtils. D'un seul élément du triangle, une ligne diagonale plus superficielle peut être formée en déplaçant continuellement un élément vers la droite, puis un élément à en bas à droite, ou en allant dans la direction opposée. Un exemple est la ligne avec des éléments 1, 6, 5, 1, ce qui commence à partir de la rangée 1, 3, 3, 1 et se termine vers le bas trois rangées. Un tel "diagonale" a une somme qui est un nombre de Fibonacci . Dans le cas de l'exemple, le nombre de Fibonacci est 13:

                                        1
                                     1 1
                                  1 2 1
                               1 → 3 ↓ 3 1
                            1 4 → 6 → 4 ↓ 1
                         1 5 10 10 → 5 → 1 ↓
                      → ↓ 1 6 15 20 15 6 1 →
                    1 7 → 21 35 35 21 7 1
                 1 8 28 56 70 56 28 8 1
               1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
             1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
           1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
         1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
       1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
     1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 
   1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1
 1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1

La deuxième souligné diagonale a une somme de 233. Les numéros «sautés» entre le droit de coup et le coup bas à droite également versés aux nombres de Fibonacci, les numéros étant «entre» les sommes formés par la première construction. Par exemple, les numéros sautées dans la première diagonale sont mis en évidence 3, 4 et 1, ce qui rend 8.

En outre, si la ligne m est prise pour indiquer rangée $(N + 1)$ , La somme des carrés des éléments de la rangée m est égal à l'élément central de la rangée $(2m-1)$ . Par exemple, $1 ^ 2 + 4 + 2 ^ 6 ^ 2 + 2 + 4 ^ 1 ^ 2 = 70$ . En forme générale:

$\ Sum_ {k = 0} ^ n {n \ choisir k} ^ 2 = {2n \ n} choisir.$

Un autre modèle intéressant est que sur ne importe quel m de la ligne, où m est impair, le moyen terme moins les deux points terme à gauche équivaut à une Nombre de Catalan, en particulier la (m + 1) / 2 nombre de Catalan. Par exemple: sur la ligne 5, 6-1 = 5, qui est la 3 ^e nombre de Catalan, et (5 + 1) / 2 = 3.

En outre, la somme des éléments de la rangée m est égal à 2 ^{m -1.} Par exemple, la somme des éléments de la ligne 5 est $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$ , Qui est égal à $2 ^ 4 = 16$ . Cela découle du théorème binomial prouvé ci-dessus, appliqué à (1 + 1) ^{m -1.}

Certains de ces numéros dans le triangle de Pascal en corrélation avec les numéros Le triangle de Lozanić.

Une autre propriété intéressante du triangle de Pascal, ce est que dans les lignes où le deuxième nombre (1er numéro suivant 1) est premier, tous les termes de cette ligne, sauf les 1s sont des multiples de ce premier.

Binomial matrice comme matrice exponentielle (illustration 5 × 5 matrices). Tous les points représentent 0.

La matrice exponentielle

Grâce à sa construction simple par factorielles, une représentation très basique du triangle de Pascal en termes de matrice exponentielle peut être donné: le triangle de Pascal est l'exponentielle de la matrice qui a la séquence 1, 2, 3, 4, ... sur la sous-diagonale et zéro partout ailleurs.

Propriétés géométriques

Le triangle de Pascal peut être utilisé comme un table de consultation pour le nombre d'éléments dimensionnés de façon arbitraire dans une seule version dimensionnée de façon arbitraire un triangle (connu sous le nom simplex). Par exemple, considérez la 3ème ligne du triangle, avec les valeurs 1, 3, 3, 1. triangle A deux dimensions a un élément deux dimensions (lui-même), trois éléments 1 dimensions (lignes, ou les bords), et trois éléments de dimension 0 ( sommets, ou des coins). Le sens du nombre final (1) est plus difficile à expliquer (mais voir ci-dessous). Dans notre exemple, un tétraèdre comporte un élément trois dimensions (elle-même), quatre éléments de dimension 2 (faces), six éléments de dimension 1 (bords), et quatre éléments de dimension 0 (sommets). Ajout de la finale une fois de plus, ces valeurs correspondent à la 4ème ligne du triangle (1, 4, 6, 4, 1). Ligne 1 correspond à un point, et la ligne 2 correspond à un segment de ligne (dyade). Cette tendance se poursuit arbitrairement hyper-tétraèdres haute-dimensionné (simplexes).

Pour comprendre pourquoi ce modèle existe, il faut d'abord comprendre que le processus de construction d'un n -simplex d'une (n - 1) -simplex consiste à ajouter simplement un nouveau sommet à ce dernier, positionné de telle sorte que ce nouveau sommet se trouve en dehors de la l'espace de l'origine simplex, et le connecter à l'ensemble des sommets d'origine. A titre d'exemple, prenons le cas de la construction d'un tétraèdre d'un triangle, ce dernier dont les éléments sont énumérés par ligne 3 de Pascal triangle: 1 visage, trois bords, et trois sommets (le sens de la finale 1 sera expliqué sous peu) . Pour construire un tétraèdre d'un triangle, nous positionnons un nouveau sommet au-dessus du plan du triangle et connecter ce sommet à tous les trois sommets du triangle d'origine.

Le nombre de dimensions d'un élément donné dans le tétraèdre est maintenant la somme de deux nombres: d'abord que le nombre d'élément trouvé dans le triangle original et le nombre de nouveaux éléments, dont chacun est construit sur des éléments d'une dimension de moins de la triangle d'origine. Ainsi, dans le tétraèdre, le nombre de cellules (éléments polyédriques) est 0 (le triangle d'origine possède aucun) + 1 (construit sur la face unique du triangle d'origine) = 1; le nombre de faces est égal à 1 (le triangle original lui-même) + 3 (les nouvelles faces, chacune construite sur un bord du triangle d'origine) = 4; le nombre d'arêtes est de 3 (du triangle d'origine) + 3 (les nouveaux bords, chacune construite sur un sommet du triangle d'origine) = 6; le nombre de nouveaux sommets est 3 (à partir du triangle d'origine) + 1 (le nouveau sommet qui a été ajouté pour créer le tétraèdre du triangle) = 4. Ce processus de additionnant le nombre d'éléments d'une dimension donnée à ceux d'une dimension moins pour arriver au nombre de l'ancien trouvé dans la prochaine simplex supérieur est équivalent au processus de additionnant deux nombres adjacents dans une rangée du triangle de Pascal pour produire le nombre ci-dessous. Ainsi, le sens du nombre final (1) dans une rangée du triangle de Pascal devient comprise comme représentant le nouveau sommet qui doit être ajouté à la simplex représentée par cette ligne pour obtenir la prochaine simplex supérieur représenté par la ligne suivante. Ce nouveau sommet est relié à chaque élément dans le simplex d'origine pour donner un nouvel élément d'une dimension supérieure à la nouvelle simplex, et ce est l'origine du motif trouvé être identique à celle observée dans le triangle de Pascal.

Une tendance similaire est observée relatives aux carrés , par opposition à triangles. Pour trouver le modèle, il faut construire un convertisseur analogique triangle de Pascal, dont les entrées sont les coefficients de (x + 2) ^{Nombre de Row,} au lieu de (x + 1) ^{Nombre de Row.} Il ya deux façons de le faire. Le plus simple est de commencer par la ligne 0 = 1 et en rangée 1 = 1, 2. Procédez de construire les triangles analogiques selon la règle suivante:

${N \ choisir k = 2} \ times {n-1 \ choose k-1} + {n-1 \ choose k}.$

Ce est, choisissez une paire de nombres selon les règles du triangle de Pascal, mais le double celui sur la gauche avant d'ajouter. Il en résulte:

                              1
                          1 2
                      1 4 4
                  1 6 8 12
              1 8 24 32 16
          1 10 40 80 80 32
      1 12 60 160 240 192 64
  1 14 84 280 560 672 448 128

L'autre façon de fabrication de ce triangle est de commencer avec le triangle de Pascal et de multiplier chaque entrée de 2 ^k, où k est la position dans la ligne d'un nombre donné. Par exemple, la 2ème valeur la ligne 4 du triangle de Pascal est de 6 (la pente de 1s correspond à l'entrée zéro dans chaque ligne). Pour obtenir la valeur qui se trouve dans la position correspondante dans le triangle analogique, multiplier 6 par 2 ^{Nombre de position} = 6 × 2 ² = 6 x 4 = 24. Maintenant que le triangle analogique a été construit, le nombre d'éléments de ne importe quelle dimension que composer un arbitraire dimensionné cube (appelé hypercube) peut être lu à partir de la table d'une façon analogue à triangle de Pascal. Par exemple, le nombre d'éléments 2 dimensions dans un cube deux dimensions (un carré) en est un, le nombre d'éléments 1 dimensions (côtés), ou des lignes est quatre, et le nombre d'éléments de dimension 0 (points, ou sommets) est 4. Cela correspond à la 2ème ligne de la table (1, 4, 4). Un cube possède une cube, six faces, douze arêtes et huit sommets, qui correspond à la ligne suivante du triangle analogique (1, 6, 12, 8). Cette tendance se poursuit indéfiniment.

Pour comprendre pourquoi ce modèle existe, reconnaît d'abord que la construction d'un n -cube d'une (n - 1) -cube est réalisé en dupliquant simplement la figure originale et la déplacer à une certaine distance (pour un n -cube régulière, la longueur d'arête ) orthogonal à l'espace de la figure originale, alors la connexion de chaque sommet de la nouvelle valeur de son sommet correspondant de l'original. Ce processus de duplication initiale est la raison pour laquelle, d'énumérer les éléments dimensionnels d'un n -cube, il faut doubler le premier d'une paire de nombres dans une rangée de cet analogue du triangle de Pascal avant de les additionner pour obtenir le numéro ci-dessous. Le doublement initial donne ainsi le nombre d'éléments "originales" que l'on trouve dans le prochain n -cube supérieur et, comme avant, de nouveaux éléments sont construits sur ceux d'une dimension moins (bords sur les sommets, des visages sur les bords, etc.). Encore une fois, le dernier numéro d'une ligne représente le nombre de nouveaux sommets à ajouter pour générer la prochaine supérieur n -cube.

Dans ce triangle, la somme des éléments de la rangée m est égal à 3 ^{m - une} fois de plus, d'utiliser les éléments de la ligne 5 à titre d'exemple.: $1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81$ , Qui est égal à $3 ^ 4 = 81$ .

Yang Hui le triangle (Pascal), tel que représenté par les Chinois à l'aide numéros de tige.

Le calcul d'une ligne individuelle

Cet algorithme est une alternative à la méthode standard de calcul de cellules individuelles avec factorielles. À partir de la gauche, la valeur de la première cellule est 1. Pour chaque cellule après, la valeur est déterminée en multipliant la valeur vers la gauche par une fraction de changer lentement:

$v (c) = \ frac {r-c} {c}$

Où r = ligne + 1, en commençant par 0 au sommet, et c = la colonne, en commençant par 0 sur la gauche. Par exemple, pour calculer la ligne 5, r = 6. La première valeur est 1. La valeur suivante est de 1 x 5/1 = 5. Le numérateur diminue d'un, et le dénominateur augmente de un à chaque étape. Donc 5 x 4/2 = 10. Puis 10 x 3/3 = 10. Puis 10 x 2/4 = 5. Puis 5 x 1/5 = 1. Notez que la dernière cellule est toujours égale à 1, la multiplication final est inclus pour l'intégralité de la série.

Une tendance similaire existe sur une diagonale vers le bas. À partir de l'un et le nombre naturel dans la cellule voisine, forment une fraction. Pour déterminer la cellule suivante, augmenter le numérateur et le dénominateur chacun par un, puis multiplier le résultat par la fraction précédente. Par exemple, la ligne commençant par 1 et 7 forment une fraction de 7/1. La cellule suivante est 7 x 8/2 = 28. La cellule suivante est 28 x 84 = 3.9.

Notez que pour une ligne individuelle vous ne devez calculer la moitié (arrondi) le nombre de valeurs dans la rangée. Ce est parce que la ligne est symétrique.

Histoire

Les premières représentations explicites d'un triangle de coefficients binomiaux se produisent dans le 10ème siècle dans les commentaires sur le Chandas Shastra, un ancien livre indien sur sanscrit prosodie écrit par Pingala entre le 5th- 2ème siècle avant JC. Alors que le travail de Pingala ne survit que dans des fragments, le commentateur Halayudha, autour de 975, utilisé le triangle d'expliquer références obscures à Meru-prastaara, le "Escalier de Mont Meru ". Il a également rendu compte que les diagonales peu profondes de la somme de triangle aux nombres de Fibonacci . Le mathématicien indien Bhattotpala (c. 1068) donne par la suite des lignes 0-16 du triangle.

À peu près au même moment, il a été discuté dans la Perse ( Iran ) par le mathématicien Al-Karaji (953-1029) et le poète - astronome mathématicien Omar Khayyam (1048-1131); donc le triangle est appelé le "triangle Khayyam" en Iran . Plusieurs théorèmes liés au triangle connues, y compris la binôme. En fait, nous pouvons être assez sûr que Khayyam a utilisé une méthode de trouver n ième racines sur la base du développement du binôme, et donc sur les coefficients binomiaux.

Au 13ème siècle, Yang Hui (1238-1298) présenté le triangle arithmétique, qui était le même que le triangle de Pascal . Aujourd'hui, le triangle de Pascal est appelé " Le triangle de Yang Hui "en Chine .

Enfin, en Italie , il est appelé "le triangle de Tartaglia", du nom de l'algébriste italienne Niccolò Fontana Tartaglia qui a vécu un siècle avant Pascal (1500-1577); Tartaglia est crédité de la formule générale pour résoudre polynômes cubiques (qui peut être vraiment partir Scipione del Ferro, mais a été publié par Jérôme Cardan 1545).

Petrus Apianus (1495 -1552) a publié le Triangle sur le frontispice de son livre sur les calculs d'affaires de 1531 à 1532 et une version antérieure en 1527 le premier enregistrement de celui-ci en Europe.

En 1655, Blaise Pascal a écrit un Traité du triangle arithmétique (Traité sur triangle arithmétique), dans laquelle il a recueilli plusieurs résultats connus à l'époque sur le triangle, et les employés pour résoudre les problèmes de la théorie des probabilités . Le triangle a ensuite été nommé d'après Pascal par Pierre Rémond de Montmort (1708) et Abraham de Moivre (1730).

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