Vitesse angulaire

Renseignements généraux

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Ne pas confondre avec fréquence angulaire

La vitesse angulaire décrit la vitesse de la rotation et l'orientation de l'axe instantané de rotation autour duquel le produit. La direction du vecteur de vitesse angulaire sera le long de l'axe de rotation; dans ce cas (rotation anti-horaire) les points de vecteur vers le spectateur.

Dans la physique , de la vitesse angulaire est un vecteur quantité (plus précisément, un pseudovector) qui précise les la vitesse angulaire à laquelle un objet est en rotation avec la direction dans laquelle il tourne. Le Unité de mesure de vitesse angulaire est radians par seconde, même si elle peut être mesurée dans d'autres unités telles que degrés par seconde, degrés par heure, etc. Lorsque mesurée en cycles ou rotations par unité de temps (par exemple, tours par minute), il est souvent appelé la vitesse de rotation et de son ampleur la vitesse de rotation. La vitesse angulaire est généralement représenté par le symbole oméga (Ω ou ω). La direction du vecteur de vitesse angulaire est perpendiculaire au plan de rotation, dans une direction qui est généralement indiqué par le règle de la main droite.

La vitesse angulaire d'une particule

Deux dimensions

La vitesse angulaire de la particule à P par rapport à l'origine O est déterminée par la de composante perpendiculaire au vecteur vitesse V.

La vitesse angulaire d'une particule dans un plan deux dimensions est la plus facile à comprendre. Comme le montre la figure de droite (exprimant généralement les mesures angulaires φ et θ en radians ), si nous traçons une ligne à partir de l'origine (O) à la particule (P), alors le vecteur de vitesse ( $\ Mathbf {v}$ ) De la particule aura une composante le long du rayon ( $\ Mathrm {v} _ \ parallèle \,$ - La composante radiale) et une composante perpendiculaire au rayon ( $\ Mathrm {v} _ \ perp$ - La composante tangentielle).

Un mouvement radial ne produit pas de rotation de la particule (par rapport à l'origine), de sorte à des fins de recherche de la vitesse angulaire de la parallèle (radiale) composant peut être ignoré. Par conséquent, la rotation est totalement produite par le mouvement tangentiel (comme celle d'une particule se déplaçant le long d'une circonférence), et la vitesse angulaire est complètement déterminée par la (tangentiel) composante perpendiculaire.

On peut voir que le taux de variation de la position angulaire de la particule est liée à la vitesse tangentielle par:

$\ Mathrm {v} _ \ perp = r \, \ frac {d \ phi} {dt}$

En utilisant θ, l'angle entre les vecteurs $\ Mathrm {v} _ \ parallèle \,$ et v, ou de manière équivalente comme étant l'angle entre les vecteurs r et v, on obtient:

$\ Mathrm {v} _ \ perp = | \ mathrm {\ mathbf {v}} | \, \ sin (\ theta)$

En combinant les deux équations ci-dessus et de définir la vitesse angulaire ω, les rendements = & phiv / dt:

$\ Omega = \ frac {| \ mathrm {\ mathbf {v}} | \ sin (\ theta) {} | \ mathrm {\ mathbf {r}} |}$

En deux dimensions la vitesse angulaire est un numéro unique qui n'a pas de sens. Un seul numéro qui n'a pas de direction est soit un ou un scalaire pseudoscalaire, la différence étant que un scalaire ne change pas son signe quand les axes x et y sont échangés (ou inversé), tandis qu'un pseudoscalaire fait. L'angle ainsi que la vitesse angulaire est un pseudoscalaire. Le sens de rotation positif est repris, par convention, pour être dans la direction de l'axe y de l'axe x. Si les axes sont inversés, mais le sens de rotation ne est pas, alors le signe de l'angle de rotation, et donc la vitesse angulaire ainsi, va changer.

Il est important de noter que la vitesse angulaire pseudoscalaire d'une particule dépend du choix de l'origine et de l'orientation des axes de coordonnées.

Trois dimensions

En trois dimensions, la vitesse angulaire devient un peu plus compliqué. La vitesse angulaire dans ce cas est généralement considéré comme un vecteur , ou plus précisément, un pseudovector. Il a maintenant non seulement une grandeur, mais une direction ainsi. L'ampleur est la vitesse angulaire et la direction décrit la axe de rotation. Le règle de la main droite indique le sens positif de la pseudovector de vitesse angulaire, à savoir:

Si vous courbez les doigts de votre main droite pour suivre la direction de la rotation, puis la direction du vecteur de vitesse angulaire est indiqué par votre pouce droit.

Tout comme dans le cas à deux dimensions, une particule aura une composante de sa vitesse le long du rayon de l'origine de la particule, et une autre composante perpendiculaire à ce rayon. La combinaison du point de départ et de la composante perpendiculaire de la vitesse définit un plan de rotation dans lequel le comportement de la particule (pour l'instant) apparaît comme il le fait dans le cas bidimensionnel. L'axe de rotation est alors une ligne perpendiculaire à ce plan, et cet axe défini le sens de la pseudo-vecteur de vitesse angulaire, tandis que l'amplitude est la même que la valeur pseudoscalaire trouvé dans le cas deux dimensions. Définir un vecteur unitaire $\ Hat {n}$ qui pointe dans la direction de l'pseudovector de vitesse angulaire. La vitesse angulaire peut être écrit d'une manière similaire à celle de deux dimensions:

$\ Boldsymbol \ omega = \ frac {| \ mathrm {\ mathbf {v}} | \ sin (\ theta) {} | \ mathrm {\ mathbf {r}} |} \, \ hat {n}$

qui, par la définition du produit vectoriel , peut se écrire:

$\ Boldsymbol \ omega = \ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} {| \ mathrm {\ mathbf {r}} | ^ 2}$

Dimensions supérieures

En général, la vitesse angulaire dans un espace à n dimensions est la dérivée de temps du déplacement angulaire tenseur qui est un deuxième rang antisymétrique tenseur. Ce tenseur devra n (n-1) / 2 composantes indépendantes et ce nombre est la dimension de la Algèbre de Lie du groupe de Lie des rotations d'un espace de produit interne de dimension n. Il se avère que dans un espace tridimensionnel vitesse angulaire peut être représenté par le vecteur, car le nombre de composantes indépendantes est égale à nombre de dimensions de l'espace.

Vitesse d'un corps rigide angulaire

Position du point P situé dans le corps rigide (en bleu). R _i est la position par rapport au châssis de laboratoire, de centre O et r _i est la position par rapport au cadre de corps rigide, centré sur O '. L'origine de la trame de corps rigide est à vecteur la position R à partir du cadre de laboratoire.

Afin de traiter avec le mouvement d'un corps rigide, il est préférable d'envisager un système qui est fixe par rapport au corps rigide coordonnée, et d'étudier les transformations de coordonnées entre cette coordonnée et le système fixe "de laboratoire". Comme le montre la figure de droite, l'origine du système de laboratoire est au point O, l'origine du système de corps rigide est à O 'et le vecteur de O à O' est R. Une particule (i) dans le corps rigide est situé au point P et le vecteur de position de cette particule est R _i dans la trame de laboratoire, et à la position r _i dans la trame de corps. On voit que la position de la particule peut se écrire:

$\ Mathbf {R} _i = \ mathbf {R} + \ mathbf {r} _i$

La caractéristique d'un corps rigide est que la distance entre deux points quelconques dans un corps rigide est invariable dans le temps. Cela signifie que la longueur du vecteur $\ Mathbf {r} _i$ est immuable. Par Pôle eulérien, nous peut remplacer le vecteur $\ Mathbf {r} _i$ avec $\ Mathcal {R} \ mathbf {r} _ {} io$ où $\ Mathcal {R}$ est un matrice de rotation et $\ Mathbf {r} _ {} io$ est la position de la particule à un point fixe dans le temps, dire t = 0. Ce remplacement est utile, parce que maintenant ce ne est que la matrice de rotation $\ Mathcal {R}$ qui évolue dans le temps et non pas le vecteur de référence $\ Mathbf {r} _ {} io$ , Que le corps rigide tourne autour du point O '. La position de la particule est maintenant écrire:

$\ Mathbf {R} _i = \ mathbf {R} + \ mathcal {R} \ mathbf {r} _ {} io$

En prenant la dérivée de temps donne le vitesse de la particule:

$\ Mathbf {V} _i = \ mathbf {V} + \ frac {d \ mathcal {R}} {dt} \ mathbf {r} _ {} io$

où V _i est la vitesse de la particule (dans le cadre du laboratoire) et v est la vitesse de O '(l'origine du cadre de corps rigide). Depuis $\ Mathcal {R}$ est une matrice de rotation inverse de sa sa sa transposée. Donc, nous substituons $\ Mathcal {I} = \ mathcal {R} ^ T \ mathcal {R}$ :

$\ Mathbf {V} _i = \ mathbf {V} + \ frac {d \ mathcal {R}} {dt} \ mathcal {I} \ mathbf {r} _ {} io$

$\ Mathbf {V} _i = \ mathbf {V} + \ frac {d \ mathcal {R}} {dt} \ mathcal {R} ^ T \ mathcal {R} \ mathbf {r} _ {} io$

$\ Mathbf {V} _i = \ mathbf {V} + \ frac {d \ mathcal {R}} {dt} \ mathcal {R} ^ T \ mathbf {r} _ {i}$

Continuer en prenant le temps de derivitve $\ Mathcal {R} \ mathcal {R} ^ T$ :

$\ Mathcal {I} = \ mathcal {R} \ mathcal {R} ^ T$

$0 = \ frac {d \ mathcal {R}} {dt} \ mathcal {R} ^ T + \ mathcal {R} \ frac {d \ mathcal {R} ^ T} {dt}$

En appliquant la formule (AB) ^T = B ^T A ^T:

$0 = \ frac {d \ mathcal {R}} {dt} \ mathcal {R} ^ T + (\ frac {d \ mathcal {R}} {dt} \ mathcal {R} ^ T) ^ T$

$\ Frac {d \ mathcal {R}} {dt} \ mathcal {R} ^ T$ est le négatif de sa transposée. Il est donc une matrice 3x3 antisymétrique. Nous pouvons donc prendre sa double pour obtenir un vecteur en 3 dimensions. $\ Frac {d \ mathcal {R}} {dt} \ mathcal {R} ^ T$ est appelé le tenseur de vitesse angulaire . Si nous prenons le double de ce tenseur, la multiplication de matrices est remplacé par le produit croisé. Son double est appelé le pseudovector de vitesse angulaire, ω.

$\ Boldsymbol \ omega = [\ omega_x, \ omega_y, \ omega_z]$

En substituant ω dans l'expression de vitesse ci-dessus:

$\ Mathbf {V} _i = \ mathbf {V} + \ boldsymbol \ omega \ times \ mathbf {r} _i.$

On peut voir que la vitesse d'un point dans un corps rigide peut être divisé en deux termes - la vitesse d'un point fixe dans le corps rigide, plus la durée transversale du produit impliquant la vitesse angulaire de la particule par rapport au point de référence référence . Cette vitesse angulaire est le "spin" vitesse angulaire du corps rigide par rapport à la vitesse angulaire du point de référence O 'sur l'origine O.

Ce est un point important que la vitesse angulaire de rotation de chaque particule dans le corps rigide est la même, et que la vitesse angulaire de rotation est indépendant du choix de l'origine du système de corps rigide ou du système de laboratoire. En d'autres termes, ce est une quantité physique réelle, qui est une propriété du corps rigide, indépendant de son choix de système de coordonnées. La vitesse angulaire du point sur l'origine de la volonté de trame de laboratoire de référence, cependant, dépendent de ces choix de système de coordonnées. Il est souvent commode de choisir le centre de masse du corps rigide que l'origine du système de corps rigide, depuis une simplification considérable se produit mathématique dans l'expression de la vitesse angulaire du corps rigide.

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