Nombre réel

En mathématiques , les nombres réels peuvent être décrits de manière informelle que les numéros qui peuvent être donnés par une infinie représentation décimale, comme 2,4871773339 .... Les nombres réels comprennent à la fois des nombres rationnels , tels que 42 et -23 / 129, et nombres irrationnels , tels que π et de la racine carrée de 2, et peut être représenté comme points le long d'une longueur infinie numéro de ligne.

Une définition plus rigoureuse des nombres réels a été l'un des développements les plus importants de la 19ème siècle mathématiques. Définitions populaires en usage aujourd'hui comprennent classes d'équivalence de Suites de Cauchy de nombres rationnels, Coupures de Dedekind, une version plus sophistiquée de «représentation décimale", et une définition axiomatique des nombres réels comme uniques complet Archimède ordonné domaine.

Les chiffres réels de noms se levèrent pour les distinguer de ce qu'on appelait alors nombres imaginaires (et maintenant des nombres complexes ).

Propriétés de base

Un nombre réel peut être soit rationnelle ou irrationnelle ; non plus algébrique ou transcendantale; et soit positif, négatif , ou zéro .

Mesure des nombres réels les quantités continues. Ils peuvent, en théorie, être exprimées par représentations décimales qui ont une suite infinie de chiffres à la droite de la virgule; ceux-ci sont souvent représentés dans la même forme que 324,823211247 ... Le points de suspension (trois points) indiquent qu'il y aurait encore plus de chiffres à venir.

Plus formellement, nombres réels ont les deux propriétés de base d'être un corps ordonné, et ayant la propriété limite supérieure moins. Le premier dit que les nombres réels comprennent un terrain, avec l'addition et la multiplication ainsi que la division par des nombres différents de zéro, ce qui peut être totalement ordonné sur un numéro de ligne d'une manière compatible avec l'addition et la multiplication. Le second dit que si un ensemble non vide de nombres réels a un limite supérieure, alors il a une borne supérieure. Ces deux définissent ensemble les nombres réels complètement, et permettre à ses autres propriétés pour être déduites. Par exemple, nous pouvons prouver à partir de ces propriétés que chaque polynôme de degré impair à coefficients réels a une racine réelle, et que si vous ajoutez la racine carrée de -1 aux nombres réels, obtenir les nombres complexes , le résultat est algébriquement clos.

Utilisations

Mesures dans les sciences physiques sont presque toujours conçues comme des approximations de nombres réels. Bien que les chiffres utilisés à cette fin sont généralement fractions décimales représentant des nombres rationnels, les écrire en termes décimaux suggère qu'ils sont une approximation d'un nombre réel sous-jacent théorique.

Un nombre réel est dit être calculable se il existe un algorithme qui donne ses chiffres. Parce qu'il ya seulement dénombrable de nombreux algorithmes, mais un nombre incalculable de reals, la plupart des nombres réels ne sont pas calculable. Certains constructivistes acceptent l'existence des seuls réels qui sont calculables. L'ensemble des numéros définissables est plus large, mais encore que dénombrable.

Ordinateurs ne peuvent approcher la plupart des nombres réels. Le plus souvent, ils peuvent représenter un certain sous-ensemble des rationnels exactement, soit par nombres à virgule flottante ou Les nombres à virgule fixe, et ces rationnels sont utilisés comme une approximation pour d'autres valeurs réelles à proximité. Arithmétique multiprécision est une méthode pour représenter des nombres rationnels arbitraires, limité uniquement par la la mémoire, mais le plus souvent on utilise un nombre fixe de bits de précision déterminées par la taille de la registres du processeur. En plus de ces valeurs rationnelles, systèmes de calcul formel sont en mesure de traiter de nombreux (dénombrables) nombres irrationnels exactement en stockant une description algébrique (comme "sqrt (2)») plutôt que leur approximation rationnelle. Notez que quelques langages de programmation utilisent «réel» pour décrire leur principale numérique type de données, tel que AppleScript.

Les mathématiciens utilisent le symbole R (ou encore, , La lettre " R " tableau noir gras, Unicode ℝ) pour représenter le ensemble des nombres réels. Le R ⁿ notation fait référence à une n - l'espace de dimension avec des coordonnées réelles; par exemple, une valeur de R ³ est constituée de trois nombres réels et spécifie un emplacement dans l'espace à 3 dimensions.

En mathématiques, réel est utilisé comme un adjectif, ce qui signifie que le champ sous-jacent est le domaine des nombres réels. Par exemple réel matrice , véritable polynomiale et réelle Algèbre de Lie. En fond, le terme est utilisé presque strictement référence aux nombres réels, eux-mêmes (par exemple, L '«ensemble de tous les réels»).

Histoire

Fractions vulgaires avaient été utilisés par le Egyptiens autour 1000 BC; la Védique " Sulba Sutras "(" règle d'accords "en sanscrit ), ca. 600 BC, comprennent ce que peut être la première «utilisation» des nombres irrationnels .

Autour 500 avant JC, les grecs mathématiciens dirigés par Pythagore a réalisé la nécessité pour les nombres irrationnels , en particulier l'irrationalité de la racine carrée de deux.

Dans les 18e et 19e siècles, il y avait beaucoup de travail sur irrationnelle et nombres transcendants. Lambert (1761) a donné la première preuve vicié que π ne peut pas être rationnel, Legendre (1794) a complété la preuve, et a montré que π ne est pas la racine carrée d'un nombre rationnel. Ruffini (1799) et Preuves Abel (1842), tous deux construits de Théorème d'Abel: que le général équations quintiques ou plus ne peuvent pas être résolus par une formule générale ne impliquant que des opérations arithmétiques et les racines.

Évariste Galois (1832) a développé des techniques pour déterminer si une équation donnée pourrait être résolu par les radicaux qui ont donné lieu au domaine de la théorie de Galois . Joseph Liouville (1840) a montré que ni ni e e ² peuvent être une racine d'un nombre entier équation quadratique , et de l'existence alors établi des nombres transcendants, la preuve étant ensuite déplacée par Georg Cantor (1873). Charles Hermite (1873) a prouvé que la première e est transcendantale, et Ferdinand von Lindemann (1882), a montré que π est transcendant. La preuve de Lindemann a été beaucoup simplifiée par Weierstrass (1885), encore par David Hilbert (1893), et a finalement été fait élémentaire par Hurwitz et Paul Albert Gordan.

Le développement de calcul dans les années 1700 utilisé l'ensemble des nombres réels sans les avoir défini proprement. La première définition rigoureuse a été donnée par Georg Cantor en 1871 . En 1874, il a montré que l'ensemble des nombres réels est indénombrablement infini, mais l'ensemble de tous nombres algébriques est infini dénombrable. Contrairement à des croyances largement répandues, sa méthode ne était pas son célèbre argument de la diagonale, qu'il publia en 1891.

Définition

Construction des nombres rationnels

Les nombres réels peuvent être construits comme un achèvement des nombres rationnels de telle sorte qu'une séquence définie par une virgule ou une expansion binaire comme {3, 3,1, 3,14, 3,141, 3,1415, ...} converge vers un nombre réel unique. Pour plus de détails et d'autres constructions de nombres réels, voir construction des nombres réels.

Approche axiomatique

Soit R le ensemble des nombres réels. Puis:

• L'ensemble R est un terrain, ce qui signifie que plus et la multiplication sont définis et possèdent les propriétés habituelles.
• Le champ R est ordonné, ce qui signifie qu'il existe un ≥ total de la commande de telle sorte que, pour tous les nombres réels x, y et z:
  • si x ≥ y, alors x + z ≥ y + z;
  • si x ≥ 0 et y ≥ 0, alors xy ≥ 0.
• L'ordre est Dedekind-complète; ce est, tous les non vide sous-ensemble S de R avec un borne supérieure dans la R a une borne supérieure (également appelée borne supérieure) dans la R.

La dernière propriété est ce qui différencie les réels des rationnels . Par exemple, l'ensemble des rationnels avec carré à moins de 2 a une limite supérieure rationnelle (par exemple, 1,5), mais pas moins rationnelle borne supérieure, parce que la racine carrée de 2 ne est pas rationnel.

Les nombres réels sont spécifiés uniquement par les propriétés ci-dessus. Plus précisément, donné aucun deux champs commandés Dedekind-complets R ₁ et R _2, il existe un champ unique isomorphisme de R ₁ à R _2, qui nous permet de les considérer comme essentiellement le même objet mathématique.

Pour un autre axiomatisation de R, voir L'axiomatisation de Tarski des réels.

Propriétés

État complet

La principale raison pour introduire les réels est que les réels contiennent toutes les limites . Plus techniquement, les réels sont complet (au sens de espaces métriques ou espaces uniformes, ce qui est un sens différent de l'exhaustivité Dedekind de l'ordre dans la section précédente). Cela signifie ce qui suit:

Une séquence (x _n) de nombres réels est appelée Cauchy si pour tout ε> 0, il existe un entier N (éventuellement en fonction de ε) de telle sorte que la distance de | x _n - x _m | est inférieure à ε pour tout n et m qui sont à la fois supérieur à N. En d'autres termes, une séquence est un Cauchy si les éléments x et _n sont éventuellement arbitrairement restent proches les uns des autres.

Une séquence (x _n) converge vers la limite x si pour tout ε> 0, il existe un entier N (éventuellement en fonction de ε) de telle sorte que la distance | x _n - x | est inférieure à ε pour autant que n est supérieur à N. En d'autres termes, une séquence a la limite x si ses éléments éventuellement viennent et restent arbitrairement proche de x.

Il est facile de voir que chaque suite convergente est une suite de Cauchy. Un fait important sur les nombres réels, ce est que l'inverse est également vrai:

Chaque suite de Cauchy de nombres réels est convergente.

Ce est, les réels sont complets.

Notez que les rationnels ne sont pas complètes. Par exemple, la séquence (1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, 1,41421, ...) mais il est de Cauchy ne converge pas vers un nombre rationnel. (Dans les nombres réels, en revanche, elle converge vers la racine carrée de 2.)

L'existence de limites de suites de Cauchy est ce qui rend le calcul travail et est d'une grande utilité pratique. Le test numérique standard pour déterminer si une séquence a une limite est de tester si ce est une suite de Cauchy, que la limite est généralement pas connue à l'avance.

Par exemple, la série standard de la fonction exponentielle

converge vers un nombre réel parce que pour chaque x sommes

peut être faite en choisissant arbitrairement petit N suffisamment grand. Cela prouve que la séquence est Cauchy, donc nous savons que la suite converge même si la limite ne est pas connue à l'avance.

"Le champ complète ordonné»

Les nombres réels sont souvent décrits comme «le champ complète ordonné», une phrase qui peut être interprété de plusieurs façons.

Tout d'abord, un ordre peut être treillis complet. Il est facile de voir que pas de champ peut être commandé treillis complète, car elle peut avoir aucun élément plus grand (donné aucun élément z, z + 1 est plus grand), donc ce ne est pas le sens que l'on entend.

En outre, une ordonnance peut être Dedekind-complète, telle que définie dans les axiomes de la section. Le résultat d'unicité, à la fin de cet article justifie l'utilisation du mot "le" "complet de la rubrique ordonnée" dans la phrase lorsque ce est le sens de «complet» qui est destiné. Ce sentiment de complétude est le plus étroitement liée à la construction des réels de coupures de Dedekind, depuis que la construction commence à partir d'un corps ordonné (les rationnels) et constitue la Dedekind-achèvement de celui-ci d'une manière standard.

Ces deux notions de complétude ignorent la structure sur le terrain. Cependant, un groupe ordonné (dans ce cas, le groupe d'additifs du champ) définit un structure uniforme, et des structures uniformes ont une notion de exhaustivité (topologie); la description dans la section Exhaustivité ci-dessus est un cas particulier. (Nous nous référons à la notion de complétude dans les espaces uniformes plutôt que la notion apparentée et mieux connu pour espaces métriques, depuis la définition de l'espace métrique repose sur ayant déjà une caractérisation des nombres réels.) Ce ne est pas vrai que R est le domaine ordonnée que uniforme complet, mais ce est la seule manière uniforme complète Champ d'Archimède, et en effet on entend souvent l'expression «champ d'Archimède complète" au lieu de "remplir le champ ordonné". Comme il peut être prouvé que ne importe quel domaine d'Archimède uniforme complet doit également être Dedekind-complète (et vice versa, bien sûr), cela justifie en utilisant «la» dans la phrase «le champ d'Archimède complète". Ce sentiment de complétude est le plus étroitement liée à la construction des réels de suites de Cauchy (la construction réalisée en plein dans cet article), car il commence avec un champ d'Archimède (les rationnels) et forme l'achèvement uniforme dans une norme façon.

Mais l'utilisation originale de l'expression «sur le terrain d'Archimède complète" était par David Hilbert , qui voulait encore dire quelque chose par elle. Il voulait dire que les nombres réels forment le plus grand champ d'Archimède dans le sens que tous les autres domaines d'Archimède est un sous-corps de R. Ainsi R est "complet" en ce sens que plus rien ne peut y être ajouté sans en faire plus un champ d'Archimède. Ce sentiment de complétude est le plus étroitement liée à la construction des réels de numéros surréalistes, depuis que la construction commence par une classe appropriée qui contient tous les corps ordonné (les surreals) puis sélectionne de lui le plus grand sous-champ d'Archimède.

Propriétés avancées

Les réels sont incalculable; ce est, il ya strictement plus nombres réels que nombres naturels , même si les deux ensembles sont infinies . En fait, la cardinalité des réels est égale à celle de l'ensemble des sous-ensembles des nombres naturels, et Argument de la diagonale de Cantor affirme que le cardinal de ce dernier ensemble est strictement plus grand que le cardinal de N. Puisque seulement un ensemble dénombrable de nombres réels peut être algébrique, presque tous les nombres réels sont transcendantale. Le non-existence d'un sous-ensemble des nombres réels avec cardinalité strictement entre celle des nombres entiers et les nombres réels est connu comme le hypothèse continuum. L'hypothèse de continuum ne peut être ni prouvée ni être réfutée; il est indépendante des axiomes de la théorie des ensembles .

Les nombres réels forment un espace métrique la distance entre X et Y est défini comme étant la valeur absolue | x - y |. En vertu d'être un totalement ordonné ensemble, ils portent aussi un commander topologie; la topologie découlant de la métrique et celui résultant de l'ordre sont identiques. Les réels sont un contractile (d'où et relié simplement connexe), espace métrique séparable dimension 1, et sont partout dense. Les nombres réels sont localement compact mais pas compacte . Il existe différentes propriétés qui spécifient uniquement eux; par exemple, toutes les bornes, connecté, et séparable ordre topologies sont nécessairement homéomorphe aux réels.

Tout nombre réel positif possède une racine carrée dans R, et aucun nombre négatif fait. Cela montre que l'ordre de R est déterminée par sa structure algébrique. En outre, chaque polynôme de degré impair admet au moins une racine: ces deux propriétés en font R le premier exemple d'un corps réel clos. Prouver ce est la première moitié d'une preuve de la théorème fondamental de l'algèbre.

Les réels portent une canonique mesurer, le Mesure de Lebesgue, qui est la Mesure de Haar sur leur structure en tant que groupe topologique normalisé de telle sorte que le intervalle unité [0,1] a mesure 1.

L'axiome de supremum des réels se réfère à des sous-ensembles des reals et est donc une instruction logique de second ordre. Il ne est pas possible de caractériser les réels avec logique du premier ordre seul: le Löwenheim-Skolem implique qu'il existe un sous-ensemble dénombrable dense des nombres réels satisfaisant exactement les mêmes phrases en logique du premier ordre que les nombres réels eux-mêmes. L'ensemble des numéros hyperréels remplit les mêmes premières phrases d'ordre que R. Champs commandés qui satisfont les mêmes phrases de premier ordre que sont appelés R modèles non standard de R. Ce est ce qui rend travail d'analyse non standard; en prouvant une déclaration du premier ordre en quelque modèle standard (qui peut être plus facile que de prouver dans R), nous savons que la même déclaration doit être également vrai de R.

Généralisations et extensions

Les nombres réels peuvent être généralisés et étendus dans plusieurs directions différentes:

• Les nombres complexes contiennent des solutions à tous les polynômes équations et sont donc un algébriquement champ clos contrairement aux nombres réels. Cependant, les nombres complexes ne sont pas un corps ordonné.
• Le affine étendu système de nombre réel ajoute deux éléments + ∞ et -∞. Ce est un espace compact . Il ne est plus un champ, même pas un groupe additif; il a encore un total de la commande; en outre, ce est un treillis complet.
• Le droite projective réelle ajoute seule ∞ de valeur. Ce est aussi un espace compact. Encore une fois, il ne est plus un champ, même pas un groupe additif. Toutefois, il permet de division d'un élément non nul par zéro. Il ne est plus ordonné.
• Le longue lignée réelle colle ensemble ℵ ₁ * + ℵ _une copie de la ligne réelle plus un seul point (ici ℵ ₁ * désigne l'ordre inverse de ℵ ₁₎ pour créer un ensemble ordonné qui est «localement» identiques aux nombres réels, mais en quelque sorte plus; par exemple, il est un plongement de préservant l'ordre de ₁ ℵ dans la longue lignée réel, mais pas dans les nombres réels. La longue ligne réelle est le plus grand ensemble ordonné qui est archimédien complète et localement. Comme avec les deux exemples précédents, cet ensemble ne est plus un champ ou d'un additif groupe.
• Champs commandés étendant les réels sont les et le nombre hyperréels numéros surréalistes; deux d'entre eux contiennent numéros infinitésimales et infiniment grandes et donc ne sont pas Archimède.
• Opérateurs auto-adjoints sur un Espace de Hilbert (par exemple, carrés complexes auto-adjoints matrices ) généraliser les réels à bien des égards: ils peuvent être commandés (mais pas totalement ordonné), ils sont complets, toutes leurs valeurs propres sont réelles et elles forment une véritable algèbre associative. Opérateurs définies positives correspondent aux réels positifs et opérateurs normaux correspondent aux nombres complexes.

"Reals" dans la théorie des ensembles

En théorie des ensembles , spécifiquement la théorie des ensembles descriptive du Espace de Baire est utilisé comme substitut pour les nombres réels depuis ces derniers ont certaines propriétés topologiques (de la connectivité) qui sont un inconvénient technique. Éléments de l'espace de Baire sont appelés «réels».