Unité imaginaire

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En mathématiques, la physique et l'ingénierie, l'unité imaginaire est notée $i \,$ ou du latin $j \,$ ou grec iota (voir notations alternatives ci-dessous). Il permet au nombre réel système, $\ Mathbb {R},$ être étendu à l' nombre complexe système, $\ Mathbb {C}.$ Sa définition précise dépend de la méthode particulière de l'extension.

La principale motivation de cette extension est le fait que chaque équation polynomiale à coefficients réels $f (x) = 0$ a une solution dans les nombres réels. En particulier, l'équation $x ^ 2 + 1 = 0$ n'a pas de solution réelle (voir "Définition", ci-dessous). Cependant, si nous permettons nombres complexes que des solutions, alors cette équation, et en fait chaque équation polynomiale $f (x) = 0$ ne avoir une solution. (Voir clôture algébrique et théorème fondamental de l'algèbre.)

Pour une histoire de l'unité imaginaire, voir l'histoire des nombres complexes .

L'unité imaginaire est souvent vaguement appelée la "racine carrée de négatif» ou la «racine carrée de moins un», mais voir ci-dessous pour les difficultés qui peuvent survenir d'une utilisation naïve de cette idée.

Définition

Par définition, l'unité imaginaire $Je$ est une solution (de deux) de l' équation quadratique

$x ^ 2 + 1 = 0 \$

ou de façon équivalente

$x ^ 2 = -1 \$ .

Comme il n'y a pas de nombre réel qui produit un nombre réel négatif au carré, nous imaginons un tel nombre et lui assignons le symbole i. Il est important de réaliser, cependant, que i est ainsi défini une construction mathématique que les nombres réels, en dépit de son nom et d'être moins immédiatement intuitive formelle.

Opérations numériques réel peuvent être étendus à des nombres imaginaires complexes et en traitant i comme une quantité inconnue lors de la manipulation d'une expression, puis en utilisant la définition de remplacer toutes les occurrences de ^deux avec i -1. Puissances supérieures intégrante de $Je$ peut également être remplacé par - i, 1, $Je$ Ou -1:

$i ^ 3 = i ^ i = 2 (-1) i = -i \,$

$i ^ 4 = i ^ 3 i = (-i) i = - (i ^ 2) = - (- 1) = 1 \,$

$i ^ 5 = i ^ i = 4 (1) i = i \,$

$Je$ et - $Je$

Être un polynôme du second degré sans multiples racine réelle, l'équation ci-dessus a deux solutions distinctes qui sont également valides et qui se trouvent être additif et inverses multiplicatifs de l'autre. Plus précisément, une fois une solution $Je$ de l'équation a été fixé, la valeur - $Je$ (Qui ne est pas égal à $Je$ ) Est aussi une solution. Etant donné que l'équation est la seule définition de $Je$ Il semble que la définition est ambiguë (plus précisément, pas bien définie). Toutefois, aucune ambiguïté résulte aussi longtemps que l'une des solutions est choisi et fixé comme "positif $Je$ . "Ce est parce que, bien que - $Je$ et $Je$ ne sont pas quantitativement équivalent (ils sont négatifs de l'autre), il ne existe aucune différence qualitative entre $Je$ et - $Je$ (Qui ne peut être dit pour -1 et +1). Les deux nombres imaginaires ont égale prétention d'être le nombre dont le carré est -1. Si tous les manuels de mathématiques et littérature publiée référant à nombres imaginaires ou complexes ont été réécrit avec - $Je$ remplacer toutes les occurrences de + $Je$ (Et donc chaque occurrence de - $Je$ remplacé par - (- $Je$ ) = + $Je$ ), Tous les faits et théorèmes continueraient d'être équivalente valide. La distinction entre les deux racines $x$ de $x ^ 2 + 1 = 0$ l'un d'eux comme «positif» est purement une relique de notation; ni racine peut être dit pour être plus primaire ou fondamentale que l'autre.

La question peut être subtile. L'explication la plus précise est-à-dire que, bien que le complexe champ, défini comme R [X] / (X ² + 1), (voir nombre complexe ) est unique jusqu'à isomorphisme, il ne est pas unique à un unique isomorphisme - il ya exactement deux automorphismes de terrain de R [X] / (X ² + 1), l'identité et l'automorphisme envoyant X - X. (Ce ne sont pas les automorphismes seulement sur le terrain de C, mais sont les seuls automorphismes de terrain de C qui maintiennent chaque nombre réel fixe.) Voir nombre complexe , conjugaison complexe, automorphisme champ, et Groupe de Galois.

Un problème similaire se pose si les nombres complexes sont interprétés comme deux × 2 réels matrices (voir nombre complexe ), car alors la fois

$X = \ begin {} pmatrix 0 & 1 -1 \\ & \; \; 0 \ end {} pmatrix$

$X = \ begin {} pmatrix 0 & 1 \\ -1 & \; \; 0 \ end {} pmatrix$

des solutions à l'équation matricielle

$X ^ 2 = -I \$ .

Dans ce cas, l'ambiguïté résulte du choix géométrique dont "direction" autour de la cercle unité est la rotation «positif». Une explication plus précise est-à-dire que le groupe d'automorphismes de la groupe spécial orthogonal SO (2, R) a exactement deux éléments - l'identité et l'automorphisme qui échange "CW" (dans le sens horaire) et les rotations "gauche" (sens anti-horaire). Voir groupe orthogonal.

Toutes ces ambiguïtés peuvent être résolus par l'adoption d'une plus rigoureuse définition de nombre complexe , et explicitement choisissant l'une des solutions de l'équation pour l'unité imaginaire. Par exemple, la paire ordonnée (0, 1), dans la construction habituelle des nombres complexes avec des vecteurs bidimensionnels.

L'utilisation appropriée

L'unité imaginaire est parfois écrit $\ Sqrt {-1}$ dans des contextes de mathématiques avancées (ainsi que dans les textes populaires les moins avancés); Cependant, un grand soin doit être pris lors de la manipulation des formules impliquant radicaux. La notation est réservé soit pour la principale racine carrée fonction, qui est définie uniquement pour de vrai $x$ ≥ 0, ou pour la branche principale de la fonction complexe de la racine carrée. Tenter d'appliquer les règles de calcul de la principale (réel) fonction de la racine carrée de manipuler la branche principale de la fonction complexe de la racine carrée va produire de faux résultats:

$-1 = I \ cdot i = \ sqrt {-1} \ cdot \ sqrt {-1} = \ sqrt {(- 1) \ cdot (-1)} = \ sqrt {1} = 1$ (Incorrect)

La règle de calcul

$\ Sqrt {a} \ cdot \ sqrt {b} = \ sqrt {a \ cdot b}$

est uniquement valable pour les valeurs réelles, non négatifs de $une$ et $b$ .

Pour une discussion plus approfondie de ce phénomène, voir la racine carrée et branche.

Pour éviter de faire de telles erreurs lors de la manipulation des nombres complexes, une stratégie est de ne jamais utiliser un nombre négatif sous un signe de racine carrée. Par exemple, plutôt que d'écrire des expressions comme $\ Sqrt {-7}$ , On devrait écrire $i \ sqrt {7}$ à la place. Ce est l'usage pour lequel l'unité imaginaire a été créé.

Racine carrée de l'unité imaginaire

On pourrait supposer que un autre ensemble de nombres imaginaires doivent être inventé pour tenir compte de la racine carrée de i. Cependant ce ne est pas nécessaire, car il peut être exprimé (quoique assez mal - voir ci-dessus) que l'un des deux nombres complexes:

$\ H \ sqrt {i} = \ h \ frac {1} {\ sqrt {2}} (1 + i)$

Cela peut être démontré pour être valide à partir de:

$\ Left (\ h \ frac {1} {\ sqrt {2}} (1 + i) \ right) ^ 2 \$	$= \ Left (\ h \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 (1 + i) ^ 2 \$
	$= (\ H 1) ^ 2 \ frac {1} {2} (1 + i) (1 + i) \$
	$= \ Frac {1} {2} (1 + 2i + i ^ 2) \ quad \ quad \ quad (i ^ 2 = -1) \$
	$= \ Frac {1} {2} + i - \ frac {1} {2} \$
	$= I \$

Pouvoirs du $Je$

Les pouvoirs de $Je$ répéter dans un cycle:

$\ ldots$

$i ^ {- 3} = \ i,$

$i ^ {- 2} = -1 \,$

$i ^ {- 1} = -i \,$

$i ^ 0 = 1 \,$

$i ^ 1 = i \,$

$i ^ 2 = -1 \,$

$i ^ 3 = -i \,$

$i ^ 4 = 1 \,$

$i ^ 5 = i \,$

$i ^ 6 = -1 \,$

$\ ldots$

Ceci peut être exprimé par le schéma suivant où n est un nombre entier:

$i ^ {} 4n = 1 \,$

$i ^ {4n + 1} = \ i,$

$i ^ {4n + 2} = -1 \,$

$i ^ {4n + 3} = -i \,$

Cela conduit à la conclusion que

$i ^ n = i ^ {n \ bmod 4} \,$

i et la formule d'Euler

La formule d'Euler est

$e ^ {} ix = \ cos (x) + i \ sin (x) \,$ ,

où x est un nombre réel. La formule peut également être prolongé pour x analytique complexe.

En substituant $x = \ pi$ rendements

$e ^ {i \ pi} = \ cos (\ pi) + i \ sin (\ pi) = -1 + i0 \,$

et on arrive à l'élégant identité d'Euler :

$e ^ {i \ pi} + 1 = 0 \,$ .

Cette équation remarquablement simple concerne cinq importantes quantités mathématiques (0, 1, π, e, i) et par le biais des opérations de base de plus, la multiplication et exponentiation.

Exemple

Remplacement de $x = \ pi / 2 - 2N \ pi,$ où N est un nombre entier arbitraire, produit

$e ^ {i (\ pi / 2 - 2N \ pi)} = \ i,$

Ou, ce qui soulève de chaque côté de la puissance $Je$ ,

$e ^ {i i (\ pi / 2 - 2N \ pi)} = i ^ i \,$

$e ^ {- (\ pi / 2 - 2N \ pi)} = i ^ i \,$ ,

ce qui montre que $i ^ i \,$ a un nombre infini d'éléments sous la forme de

$i ^ i = e ^ {- \ pi / 2 + 2 \ pi N} \,$

où N est un entier quelconque. Cette valeur réelle bien réel ne est pas uniquement déterminée. La raison en est que la logarithme complexe est multipliez-évalué.

Opérations avec i

De nombreuses opérations mathématiques qui peuvent être réalisées avec des nombres réels peuvent également être effectués avec $Je$ , Comme exponentation, racines, logarithmes et les fonctions trigonométriques.

Un nombre élevé à la $Ni$ puissance est:

$\! \ X ^ {ni} = \ cos (\ ln (x ^ n)) + i \ sin (\ ln (x ^ n))$

Le $Ni$ ^e racine d'un nombre est:

$! \ \ \ Sqrt [ni] {x} = \ cos (\ ln (\ sqrt [n] {x})) - i \ sin (\ ln (\ sqrt [n] {x}))$

Le connecter la base i d'un nombre est:

$\ Log_i (x) = {{2 \ ln (x)} \ over i \ pi}$

Le cosinus de $Je$ est un nombre réel:

$\ cos (i) = \ cosh (1) = {{e + 1 / e} \ over 2} = {{e ^ 2 + 1} \ over 2e} = 1,54308064$

Et le sinus de $Je$ est imaginaire:

$\ Sin (i) = \ sinh (1) \, i = {{e - 1 / e} \ over 2} \, i = {{e ^ 2 - 1} \ over 2e} \, i = 1,17520119 \, Je$

Notations alternatifs

En génie électrique champs et connexes, l'unité imaginaire est souvent écrit $j \,$ pour éviter toute confusion avec courant électrique en fonction du temps, traditionnellement désigné par $i (t) \,$ ou tout simplement $i. \,$ Le langage de programmation Python utilise également j pour désigner l'unité imaginaire, tandis que dans Matlab, les deux notations i et j sont associés à l'unité imaginaire.
Quelques précautions supplémentaires doivent être prises dans certains manuels qui définissent j = - i, en particulier à ondes progressives (par exemple un droit voyager onde plane dans la direction x $e ^ {i (kx - \ omega t)} = e ^ {j (\ omega t-kx)} \,$ ).
Certains textes utilisent la lettre grecque iota (ι) pour écrire l'unité imaginaire pour éviter toute confusion. Par exemple: Biquaternion.