Théorème

Une image mathématique vaut mille mots: le théorème de Pythagore .

En la logique mathématique, un théorème est un type de objet abstrait, une de jeton qui est un une formule de langage formel qui peut être dérivée à partir de la règles de la système formel qui est appliquée à la langue formelle; un autre signe de ce qui est une déclaration langage naturel, qui peut être prouvé sur la base d'hypothèses explicitement énoncées ou préalablement convenues.

Dans tous les paramètres, une propriété essentielle de théorèmes, ce est qu'ils peuvent être dérivées en utilisant un ensemble fixe de règles d'inférence et axiomes sans les hypothèses supplémentaires. Ce ne est pas une question de la sémantique du langage: l'expression qui résulte d'une dérivation est un conséquence syntaxique de toutes les expressions qui la précèdent. En mathématiques , la dérivation d'un théorème est souvent interprétée comme une preuve de la vérité de l'expression résultante, mais différent systèmes déductifs peuvent donner d'autres interprétations, selon les significations des règles de dérivation.

Les preuves de théorèmes ont deux composantes, appelé hypothèses et la conclusions. La démonstration d'un théorème mathématique est un argument logique démontrant que les conclusions sont une conséquence nécessaire des hypothèses, dans le sens que si les hypothèses sont vraies alors les conclusions doivent aussi être vrai, sans autres hypothèses. Le concept d'un théorème est donc fondamentalement déductive, contrairement à l'idée d'une scientifique théorie, qui est empirique.

Même si elles peuvent être écrites dans un complètement forme symbolique, théorèmes sont souvent exprimées dans un langage naturel comme l'anglais. La même chose est vraie des preuves, qui sont souvent exprimés comme logiquement organisé et clairement formulé arguments informels destinés à démontrer que la preuve symbolique formelle peut être construit. De tels arguments sont généralement plus faciles à vérifier que purement symboliques - en effet, de nombreux mathématiciens exprimer une préférence pour une preuve que non seulement démontre la validité d'un théorème, mais explique aussi en quelque sorte pourquoi il est évidemment vrai. Dans certains cas, une image peut suffire à prouver un théorème.

Parce théorèmes sont au cœur des mathématiques, ils sont également au cœur de son esthétique. Théorèmes sont souvent décrits comme étant «trivial», ou «difficile» ou «profond», ou même «beau». Ces jugements subjectifs varient non seulement d'une personne à personne, mais aussi avec le temps: par exemple, comme une preuve est simplifiée ou mieux compris, un théorème qui était autrefois difficile peut devenir trivial. D'autre part, un théorème profonde peut être simplement déclaré, mais sa démonstration peut impliquer des connexions surprenantes et subtiles entre les zones disparates de mathématiques. dernier théorème de Fermat est un exemple particulièrement bien connu d'un tel théorème.

Notions formelles et informelles

Logiquement la plupart des théorèmes sont de la forme d'un indicative conditionnelle:. si A, puis B Un tel théorème ne affirme pas que B est toujours vrai, mais seulement que B doit être vrai si A est vrai. Dans ce cas, A est appelé le hypothèse du théorème (à noter que «hypothèse» ici est quelque chose de très différent d'un conjecture) et B la conclusion. Le théorème "Si n est un même nombre naturel alors n / 2 est un nombre naturel »est un exemple typique où l'hypothèse est que n est un nombre pair naturel et la conclusion est que n / 2 est également un nombre naturel.

Afin d'être prouvée, un théorème doit être exprimé sous la forme, une déclaration officielle précise. Néanmoins, théorèmes sont généralement exprimés en langage naturel plutôt que dans une forme complètement symbolique, avec l'intention que le lecteur sera en mesure de produire une déclaration officielle de l'informel. En outre, il ya souvent des hypothèses qui sont compris dans son contexte, plutôt que dit explicitement.

Il est fréquent en mathématiques de choisir un certain nombre d'hypothèses qui sont supposés être vrai dans une théorie donnée, puis déclarent que la théorie se compose de tous les théorèmes prouvables utilisant ces hypothèses comme hypothèses. Dans ce cas, les hypothèses qui forment la base fondamentale sont appelés axiomes ou postulats () de la théorie. Le domaine des mathématiques appelés théorie de la preuve étudie les systèmes d'axiomes formels et les preuves qui peuvent être effectuées en leur sein.

Un plan carte avec cinq couleurs telles que deux régions avec la même couleur se rencontrent. Il peut en fait être colorée de cette façon avec seulement quatre couleurs. Le théorème des quatre couleurs indique que ces colorants sont possibles pour toute carte plane, mais toutes les preuves connu implique une recherche de calcul qui est trop long pour vérifier à la main.

Certains théorèmes sont "trivial", dans le sens où ils suivent des définitions, axiomes et autres théorèmes façons évidentes et ne contiennent pas de aperçus surprenants. Certains, d'autre part, peut être appelé «profonde»: leurs preuves peuvent être longue et difficile, implique domaines des mathématiques superficiellement distincte de la déclaration du théorème lui-même, ou de montrer des liens surprenants entre zones disparates de mathématiques. Un théorème pourrait être simple à énoncer et pourtant être profond. Un excellent exemple est le dernier théorème de Fermat , et il ya beaucoup d'autres exemples de théorèmes encore profondes simples dans la théorie des nombres et la combinatoire , entre autres domaines.

Il ya d'autres théorèmes pour lesquels une preuve est connu, mais la preuve ne peuvent pas facilement être écrites. Les exemples les plus frappants sont les théorème de couleur Quatre et de la Conjecture de Kepler. Ces deux théorèmes ne sont connus pour être vrai en les réduisant à une recherche de calcul qui est ensuite vérifiée par un programme informatique. Initialement, de nombreux mathématiciens ne ont pas accepté cette forme de preuve, mais il est devenu plus largement acceptés au cours des dernières années. Le mathématicien Doron Zeilberger est même allé jusqu'à prétendre que ce sont probablement les seuls résultats non triviaux que les mathématiciens ont jamais prouvé. Beaucoup de théorèmes mathématiques peuvent être réduits au calcul plus simple, y compris les identités polynomiales, identités trigonométriques et les identités hypergéométriques.

Relation à la preuve

La notion d'un théorème est intimement liée à la notion de preuve. En effet, théorèmes sont remplies avec précision dans le sens où ils possèdent des preuves. Par conséquent, d'établir un énoncé mathématique comme un théorème, l'existence d'une ligne de raisonnement des axiomes dans le système (et d'autres, les théorèmes déjà établis) à la déclaration donnée doit être démontrée.

Bien que la preuve est nécessaire pour produire un théorème, il ne est généralement pas considéré comme faisant partie du théorème. Et même si plus d'une preuve peut être connu pour un seul théorème, seule la preuve est nécessaire pour établir la validité du théorème. Le théorème de Pythagore et le droit de réciprocité quadratique sont en lice pour le titre du théorème le plus grand nombre d'épreuves distinctes.

Théorèmes de logique

Logique , en particulier dans le domaine de la théorie de la preuve, estime que les déclarations théorèmes (appelées formules ou ainsi formé formules) d'un langage formel. Un ensemble de règles de déduction, également appelées règles de transformation ou d'un grammaire formelle, doit être fournie. Ces règles de déduction dire exactement quand une formule peut être dérivé d'un ensemble de locaux.

Différents ensembles de règles de dérivation donnent lieu à des interprétations différentes de ce que cela signifie pour une expression soit un théorème. Certaines règles de dérivation et les langues officielles sont destinés à capturer raisonnement mathématique; les exemples les plus courants utilisent logique du premier ordre . Autres systèmes déductifs décrivent la réécriture de termes, tels que les règles de réduction pour calcul λ.

La définition de théorèmes que les éléments d'un langage formel permet des résultats en théorie de la preuve qui étudient la structure de preuves formelles et la structure des formules prouvables. Le résultat le plus célèbre est Le théorème d'incomplétude de Gödel; en représentant théorèmes sur la théorie des nombres de base comme des expressions dans un langage formel, puis représentant cette langue au sein de la théorie des nombres lui-même, Gödel construit des exemples de déclarations qui ne sont ni prouvables ni réfutable de axiomatisations de la théorie des nombres.

Relation avec les théories scientifiques

Théorèmes en mathématiques et théories scientifiques sont fondamentalement différents dans leur épistémologie. Une théorie scientifique ne peut être prouvée; son attribut clé est qu'il est falsifiable, qui est, il fait des prédictions sur le monde naturel qui sont testables par expériences. Tout désaccord entre prévision et expérience démontre l'inexactitude de la théorie scientifique, ou au moins de limiter leur exactitude ou leur domaine de validité. Théorèmes mathématiques, d'autre part, sont purement déclarations formelles abstraites: la preuve d'un théorème peut pas impliquer expériences ou d'autres preuves empiriques de la même manière telle preuve est utilisé pour soutenir les théories scientifiques.

La conjecture de Syracuse: une façon d'illustrer sa complexité est d'étendre l'itération des nombres naturels aux nombres complexes. Le résultat est une fractale, qui (conformément à l'universalité) ressemble à l' ensemble de Mandelbrot .

Néanmoins, il ya un certain degré de l'empirisme et la collecte de données impliqués dans la découverte de théorèmes mathématiques. En établissant un modèle, parfois avec l'utilisation d'un ordinateur puissant, mathématiciens peuvent avoir une idée de ce à prouver, et dans certains cas même un plan pour savoir comment régler de faire la preuve. Par exemple, le Collatz Conjecture a été vérifié pour les valeurs de démarrage jusqu'à environ 2,88 × 10 ^18. Le Hypothèse de Riemann a été vérifié pour les 10000000000000 premiers zéros de la fonction zeta. Aucune de ces affirmations est considéré être prouvée.

Ces éléments de preuve ne constitue pas une preuve. Par exemple, le Mertens conjecture est une déclaration au sujet des nombres naturels qui est maintenant connu pour être faux, mais pas contre-explicite (ce est à dire, un nombre naturel n pour laquelle la fonction Mertens M (n) est égal ou supérieur à la racine carrée de n) est connu: tous les numéros moins de 10 ¹⁴ ont la propriété Mertens, et le plus petit nombre qui ne possède pas cette propriété ne est connu pour être inférieure à la exponentielle de 1,59 × 10 ^40, qui est d'environ 10 à la puissance 4,3 × 10 ^39. Comme le nombre de particules dans l'univers est généralement considérés comme moins de 10 à la puissance 100 (un googol), il n'y a aucun espoir de trouver un contre-exemple explicite recherche exhaustive à l'heure actuelle.

Notez que le mot «théorie» existe aussi en mathématiques, pour désigner un corps d'axiomes mathématiques, les définitions et théorèmes, comme, par exemple, la théorie des groupes . Il ya aussi des «théorèmes» dans la science, en particulier la physique et de l'ingénierie, mais ils ont souvent des déclarations et des preuves dans lequel hypothèses physiques et l'intuition jouent un rôle important; les axiomes physiques sur lesquels ces «théorèmes» sont fondés sont eux-mêmes falsifiables.

Terminologie

Théorèmes sont souvent indiquées par plusieurs autres termes: l'étiquette «théorème» réelle est réservé pour les résultats les plus importants, alors que les résultats qui sont moins importants, ou distingués par d'autres moyens, sont nommés par une terminologie différente.

• Un proposition est une déclaration non associé à tout théorème particulier. Ce terme évoque parfois une déclaration avec une preuve simple.
• Un lemme est un «pré-théorème", une déclaration qui fait partie de la preuve d'un théorème plus grande. La distinction entre les théorèmes et lemmes est plutôt arbitraire, puisque l'un de mathématicien résultat majeur est une autre réclamation est mineur. Lemme de Gauss et Lemme de Zorn, par exemple, sont assez intéressant de noter que certains auteurs présentent le lemme nominale sans passer à l'utiliser dans la démonstration d'un théorème.
• Un corollaire est une proposition qui suit avec peu ou pas de preuve d'un autre théorème ou une définition. Ce est, proposition B est un corollaire d'une proposition A si B peut être facilement déduit de A.
• Une réclamation est un résultat nécessaire ou indépendamment intéressante qui peut faire partie de la preuve d'une autre instruction. Malgré le nom, les réclamations doivent être prouvées.

Il ya d'autres termes, moins couramment utilisés, qui sont classiquement attachés aux états éprouvés, de sorte que certains théorèmes sont désignés par des noms historiques ou coutumières. Pour exemples:

• Identité, utilisé pour théorèmes qui indiquent une égalité entre deux expressions mathématiques. Les exemples incluent l'identité d'Euler et Identité de Vandermonde.
• Règle, utilisé pour certains théorèmes tels que La règle de Bayes et La règle de Cramer, qui établissent formules utiles.
• Loi. Des exemples comprennent le loi des grands nombres, le loi des cosinus, et Loi du zéro un de Kolmogorov.
• Principe. Des exemples comprennent Principe de Harnack, le principe limite supérieure moins, et de la classer principe.
• Un Converse est un théorème inverse. Par exemple, si un théorème affirme que A est une lié à B, ce est réciproque énoncerait que B est lié à A. L'inverse d'un théorème ne est pas nécessairement toujours vrai.

A quelques théorèmes bien connus ont des noms encore plus idiosyncrasiques. Le division algorithme un théorème exprimant le résultat de la division dans les nombres naturels et des anneaux plus généraux. Le Banach-Tarski paradoxe est un théorème théorie de la mesure ce est- paradoxale dans la mesure où elle contredit intuitions communes sur le volume dans l'espace en trois dimensions.

Une déclaration à prouver que l'on croit être vrai est appelé conjecture (ou parfois une hypothèse, mais avec un sens différent de celui décrit ci-dessus). Pour être considéré comme une conjecture, une déclaration doit généralement être proposé au public, à quel point le nom du promoteur peut être attaché à la conjecture, comme avec la conjecture de Goldbach . Autres conjectures célèbres incluent la Collatz conjecture et de la Hypothèse de Riemann.

Disposition

Un théorème et sa preuve sont généralement disposés comme suit:

Théorème (nom de la personne qui a prouvé et année de la découverte, la preuve ou de la publication).

Déclaration du théorème.

Preuve.

Description de la preuve.

La fin de la preuve peut être signalé par les lettres CQFD sens " quod erat demonstrandum »ou par l'un des marques de Tombstone "□" ou "∎" qui signifie "Fin de la preuve", introduite par Paul Halmos la suite de leur utilisation dans des articles de magazines.

Le style exact dépendra de l'auteur ou de la publication. Beaucoup de publications fournissent des instructions ou macros pour la composition dans le style maison.

Il est commun pour un théorème d'être précédé par définitions décrivant le sens exact des termes utilisés dans le théorème. Il est également fréquent pour un théorème à être précédée d'un certain nombre de propositions ou lemmes qui sont ensuite utilisées dans la preuve. Cependant, lemmes sont parfois intégrés dans la démonstration d'un théorème, soit avec des preuves imbriqués, ou avec leurs preuves présentés après la démonstration du théorème.

Corollaires à un théorème sont soit présentées entre le théorème et la preuve, ou directement après la preuve. Parfois corollaires ont des preuves de leur propre qui expliquent pourquoi ils suivent du théorème.

Traditions

Il a été estimé que plus d'un quart de million théorèmes sont prouvés chaque année.

Le bien-connue aphorisme, "Un mathématicien est un dispositif pour transformer le café en théorèmes", est probablement due à Alfréd Rényi, même si elle est souvent attribuée à un collègue de Rényi Paul Erdős (et Rényi peuvent avoir pensé Erdős), qui était célèbre pour les nombreux théorèmes qu'il produit, le nombre de ses collaborations, et sa consommation de café.

Le classification des groupes simples finis est considéré par certains comme la plus longue démonstration d'un théorème; il comprend des dizaines de milliers de pages de 500 articles de revues par certains auteurs 100. Ces documents sont ainsi censés donner une preuve complète, et il ya plusieurs projets en cours pour raccourcir et simplifier cette preuve.

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