Structure algébrique

En algèbre abstraite , une structure algébrique constituée d'un ou plusieurs ensembles , appelé ensembles ou des supports ou des sortes sous-jacents, fermé par un ou plusieurs opérations, répondant à une partie axiomes. Algèbre abstraite est principalement l'étude des structures algébriques et leurs propriétés. La notion de algébrique la structure a été formalisée dans algèbre universelle.

Comme une abstraction, une "structure algébrique" est la collection de tous les possibles modèles d'un ensemble donné d'axiomes. Plus concrètement, une structure algébrique est un modèle particulier de certains ensemble d'axiomes. Par exemple, le groupe de monstre à la fois "est" une structure algébrique au sens concret, et abstraite, "a" la structure du groupe en commun avec tous les autres groupes . Cet article emploie les deux sens de «structure».

Cette définition d'une structure algébrique ne doit pas être considérée comme restrictive. Tout ce qui satisfait les axiomes définissant une structure est une instance de cette structure, indépendamment de combien d'autres axiomes cette instance se trouve à avoir. Par exemple, tous les groupes sont également semigroupes et magmas.

Ouvrages d'art dont les axiomes sont toutes les identités

Si les axiomes définissant une structure sont tous identités, la structure est un variété (à ne pas confondre avec variété algébrique dans le sens de géométrie algébrique). Les identités sont équations formulées en utilisant uniquement les opérations de la structure le permet, et les variables qui sont tacitement universellement quantifiés sur la pertinente univers. Les identités ne contiennent pas de connecteurs, existentiellement variables quantifiées, ou relations de toute nature autre que les opérations autorisées. L'étude des variétés est une partie importante de algèbre universelle.

Toutes les structures de cette section sont des variétés. Certaines de ces structures sont plus naturellement axiomatisée utilisant un ou plusieurs nonidentities, mais sont néanmoins variétés car il existe une axiomatique équivalente, une peut-être moins perspicace, composé uniquement des identités. Structures algébriques qui ne sont pas des variétés sont décrites dans la section suivante, et diffèrent de variétés dans leur métamathématiques propriétés.

Dans cette section et la suivante, les structures sont répertoriés dans l'ordre approximatif de complexité croissante, opérationnalisées comme suit:

• Structures simples mais nécessitant un ensemble, l'univers S, sont listés avant les composites nécessitant deux ensembles;
• Structures ayant le même nombre d'ensembles nécessaires sont alors commandés par le nombre de opérations binaires (0-4) dont ils ont besoin. Par ailleurs, aucune structure mentionnée dans cette entrée nécessite une opération dont arité supérieure à 2;
• Soient A et B les deux ensembles qui constituent une structure composite. Puis une structure composite peut comprendre une ou deux fonctions de la forme A x A → B ou A x B → A;
• Ouvrages d'art ayant le même nombre et les types d'opérations et les fonctions binaires sont plus ou moins ordonnées par le nombre requis de unaire et 0-aire (éléments distingués) opérations, 0-2 dans les deux cas.

La structure d'indentation utilisé dans cette section et la suivante est destiné à transmettre de l'information. Si la structure B est sous la structure A et plus en retrait, alors tous les théorèmes de A sont des théorèmes de B; la converse ne tient pas.

Ringoids et treillis peuvent être clairement distinguées malgré deux ayant deux la définition des opérations binaires. Dans le cas de ringoids, les deux opérations sont liées par la loi distributive; dans le cas de réseaux, ils sont liés par la la loi d'absorption. Ringoids tendent également à avoir numérique modèles, tout en treillis ont tendance à avoir théoriques set- modèles.

Structures simples: Aucune opération binaire:

• Set : une structure algébrique dégénérée ayant aucune opération.
• Ensemble pointé: S a un ou plusieurs éléments distingués, souvent 0, 1, ou les deux.
• Système unaire: S et une seule opération unaire sur S.
• Système unaire souligné: un système unaire avec S un ensemble pointu.

Groupe-comme des structures:

Une opération binaire, notée concaténation. Pour monoïdes, algèbres limites, et sloops, S est un Ensemble pointé.

• Magma ou groupoïde: S et une seule opération binaire sur S.
  • Steiner magma: A commutative magma satisfaisant x (xy) = y.
    • Squag: un idempotent Steiner magma.
    • Sloop: un magma Steiner avec une élément distingué, de telle sorte que xx = 1.
• Semigroup: un associative magma.
  • Monoid: un semigroupe unifère.
    • Groupe : un monoid avec une opération unaire inverse, donnant lieu à une élément inverse.
      • Groupe abélien: un groupe commutatif.
  • Band: un semi-groupe d'idempotents.
    • Semitreillis: une bande commutative. L'opération binaire peut être appelée atteindre ou rejoindre.
      • Algèbre Limite: un demi-treillis de unifère (équivalente, un monoïde commutatif idempotent) avec une opération unaire, complémentation, noté en plaçant son argument entre parenthèses, donnant naissance à un élément inverse qui est le complément de la élément d'identité. Les éléments d'identité et inverses liés S. Aussi, x (xy) = x (y) détient.

Trois opérations binaires. Quasigroupes sont répertoriés ici, en dépit de leurs ayant trois opérations binaires, car ils sont (non associatif) magmas. Quasigroupes disposent de 3 opérations binaires seulement parce instituant la quasigroupe propriété d'annulation au moyen d'identités seul nécessite deux opérations binaires en plus de l'opération de groupe.

• Quasigroupe: un magma cancellative. De manière équivalente, ∀ x, y ∈ S, ∃! A, b ∈ S, de telle sorte que xa et y = bx = y.
  • Loop: un quasigroupe unifère avec une opération unaire, inverse.
    • Moufang boucle: une boucle dans laquelle une forme affaiblie de l'associativité, (zx) (yz) = z (xy) z, détient.
      • Groupe: une boucle associative.

Treillis: deux ou plusieurs opérations binaires, y compris rencontrer et rejoindre, reliés par la loi d'absorption. S est à la fois une rencontre et se joignent à demi-treillis, et est un ensemble pointu si et seulement si S est borné. Les grilles ne ont souvent pas les opérations unaires. Chaque déclaration est vraie a un double, obtenu en remplaçant chaque instance de rencontrer rejoindre, et vice versa.

• Bornée réseau: S comporte deux éléments distingués, les borne inférieure et de la borne supérieure. Dualisant doit être remplacé tous les cas d'un lié par l'autre, et vice versa.
  • Complété réseau: un réseau avec une opération unaire, complémentation, notée suffixe "'", en donnant lieu à un élément inverse. Cet élément et son complément liés le treillis.
• Treillis modulaire: un réseau dans lequel l'identité détient modulaire.
  • Treillis distributif: un réseau dans lequel chacun de rencontrer et rejoindre distribue sur l'autre. Treillis distributifs sont modulaires, mais l'inverse ne tient pas.
    • Kleene algèbre: un treillis distributif bornée à une opération unaire dont les identités sont x structures en forme d'anneau "= x, (x + y) '= x'y', et (x + x ') aa' = yy 'Voir." "pour une autre structure ayant le même nom.
    • Algèbre de Boole: un treillis distributif complétée. Chacune de rencontre ou de rejoindre peut être défini en termes de l'autre et la complémentation.
      • Algèbre Intérieur: une algèbre booléenne à une opération unaire ajoutée, le opérateur intérieur, désigné par le suffixe "'" et obéissant aux identités X'X = X, X "= x, (xy)' = x'y ', et 1' = 1.
    • Algèbre Heyting: un treillis distributif bornée à une opération binaire ajoutée, rapport pseudo-complément, notée infixe "'", et régie par les axiomes x'x = 1, x (X'Y) = xy, x' (yz) = (x'y) (x'z), (xy) 'z = (x 'z) (y'z).

Ringoids: Deux opérations binaires, plus et la multiplication , avec la multiplication la distribution sur l'addition. Semi-anneaux sont ensembles pointés.

• Semiring: un Ringoid tels que S est un monoïde dans chaque opération. Chaque opération a un élément de l'identité distincte. Addition commute également, et comporte un élément d'identité qui annihile multiplication.
  • Semianneau commutative: un semi-anneau avec la multiplication commutative.
  • Anneau: un semi-anneau avec une opération unaire, additif inverse, donnant naissance à un élément -x inverse, qui, lorsqu'il est ajouté à x, on obtient l'élément d'identité additive. Ainsi S est un groupe abélien sous addition.
    • Rng: un anneau manquant d'une identité multiplicatif.
    • Anneau commutatif : un anneau avec la multiplication commutative.
      • Anneau de Boole: un anneau commutatif idempotent multiplication, équivalent à une algèbre de Boole.
  • Kleene algèbre: un semi-anneau avec addition idempotent et une opération unaire, le Étoile de Kleene, notée par postfix * et d'obéir aux identités (1 + x * x) x * = x * et (1 + xx *) x * x = *. Voir «structures treillis" pour une autre structure ayant le même nom.

NB La définition ci-dessus de l'anneau ne commande pas l'assentiment universel. Certaines autorités utilisent "ring" pour désigner ce qui est appelé ici une RNG, et se référer à un anneau dans le sens ci-dessus comme un "anneau avec l'identité."

Modules: Systèmes composite défini sur deux ensembles, M et R: Les membres de:

1. R est scalaires, désigné par les lettres grecques R est un anneau dans les opérations binaires d'addition et de multiplication scalaire.;
2. M sont des éléments module (souvent, mais pas nécessairement des vecteurs ), désignés par des lettres latines. M est un groupe abélien sous addition. Il peut y avoir d'autres opérations binaires.

La multiplication scalaire de scalaires et éléments modulaires est une fonction R x M → M qui commute, associés (∀ r, s ∈ R, ∀ x ∈ M, R (sx) = (rs x)), a une comme élément d'identité, et distribue plus de module et plus scalaire. Si seulement la multiplication pré (post) des éléments modulaires par scalaires est défini, le résultat est une gauche (à droite) module.

• Module libre: un module ayant un libre base, {e _1, e ... _n} ⊂ M, où le nombre entier positif n est le dimension du module libre. Pour chaque v ∈ M, il existe κ _1, ..., κ _n ∈ R tel que v = κ ₁ e ₁ + ... + κ _{n n} e. Soit 0 et 0 être les éléments d'identité respectives pour le module et l'addition scalaire. Si r ₁ e ₁ + ... + e r _{n n} = 0, alors R ₁ = ... = R _n = 0.
  • Algèbre sur un anneau (également R-algèbre): un module (gratuit) où R est un anneau commutatif . Il existe une seconde opération binaire sur M, appelé multiplication et désigné par concaténation, qui distribue sur l'addition de module et est bilinéaire: α (xy) = (α x) y = x (α y).
    • Anneau Jordanie: un algèbre sur un anneau dont la multiplication module de déplacements, ne associe pas, et respecte le Identité Jordanie.

Espaces vectoriels , étroitement liés aux modules, sont définis dans la section suivante.

Structures avec certains axiomes qui ne sont pas des identités

Les structures de cette section ne sont pas variétés parce qu'ils ne peuvent pas être axiomatiser uniquement avec des identités. Presque tous les nonidentities ci-dessous sont l'un des deux types très élémentaires:

1. Le point de départ de toutes les structures de cette section est un anneau "triviale", à savoir une telle que S ≠ {0}, 0 étant l'additif élément d'identité. La chose la plus proche à une identité impliquant S ≠ {0} est la non-identité 0 ≠ 1, qui exige que les additifs et multiplicatif identités distinctes.
2. Presque toutes les structures décrites dans cette section incluent les identités qui détiennent pour tous les membres de S sauf 0. Pour une structure algébrique être une variété, ses opérations doivent être définis pour tous les membres de S; il peut y avoir aucun opérations partielles.

Ouvrages d'art dont les axiomes inclure inévitablement nonidentities sont parmi les plus importantes en mathématiques, par exemple, les champs et les espaces vectoriels . En outre, une grande partie de la physique théorique peut être reformulée comme des modèles de algèbres multilinéaires. Bien que les structures avec nonidentities conservent une saveur algébrique incontestable, ils souffrent de défauts variétés ne ont pas. Par exemple, ni le produit de intègres, ni un champ libre sur ne importe quel jeu existent.

Arithmétique: Deux opérations binaires, addition et la multiplication. S est un ensemble infini. Arithmétique sont pointés systèmes unaires, dont opération unaire est injective successeur, et élément distingué 0.

• Arithmétique Robinson. Addition et la multiplication sont récursive définie par des moyens de successeur. 0 est l'élément d'identité pour l'addition, la multiplication et anéantit. Robinson arithmétique est répertorié ici, même si ce est une variété, en raison de sa proximité avec l'arithmétique de Peano.
  • Arithmétique de Peano. Robinson arithmétique avec un axiome schéma induction. La plupart des axiomes d'anneau et sur le terrain portant sur les propriétés de l'addition et la multiplication sont des théorèmes de l'arithmétique de Peano ou d'extensions propres de celle-ci.

Structures terrain comme:. Deux opérations binaires, addition et de multiplication S est non triviale, ce est à dire, S ≠ {0}.

• Domaine: un anneau dont le seul diviseur de zéro est 0.
  • Domaine intégrante: un domaine dont trajets multiplication. Aussi une commutative anneau cancellative.
    • Domaine euclidienne: un domaine intégrante d'une fonction f: S → N satisfaire la division de la propriété du reste.
• Corps (ou Sfield, corps gauche): un cycle dans lequel chaque membre de S autre que 0 a un inverse multiplicatif recto-verso. Les membres non nuls de S forment un groupe pour la multiplication.
  • Champ: un anneau de division dont trajets multiplication. Les membres non nulles de S forment un groupe abélien la multiplication.
    • Corps ordonné: un champ dont les éléments sont totalement ordonné.
      • Le champ réel: une Dedekind compléter corps ordonné.

Les structures suivantes sont pas les variétés pour des raisons en plus de S ≠ {0}:

• Anneau simple: un anneau ayant pas idéaux autres que 0 et S.
  • Algèbre de Weyl:
• Anneau Artinian: un anneau dont les idéaux satisfaire la décroissant état de la chaîne.

Systèmes composites: espaces vectoriels, et algèbres sur les champs. Deux ensembles, M et R, et au moins trois opérations binaires.

Les membres de:

1. M sont des vecteurs, désignés par les lettres minuscules. M est au moins un groupe abélien sous addition de vecteur, avec un membre éminent 0.
2. R est scalaires, désignés par des lettres grecques. R est un terrain, presque toujours le réel ou domaine complexe , avec 0 et 1 en tant que membres distingués.

Trois opérations binaires.

• Espace vectoriel : un sans module dimension n, sauf que R est un domaine.
  • Normé espace vectoriel: un espace vectoriel et avec un norme, à savoir une fonction M → R qui est positif homogène, subadditive, et définie positive.
    • Espace préhilbertien (également de l'espace vectoriel euclidien): un espace vectoriel normé tel que R est le domaine réel, dont la norme est la racine carrée de la produit interne, M × M → R. Soit i, j et n sont des entiers positifs tels que 1≤ i, j ≤ n. Alors M a un base orthonormé tel que e _i • e _j = 1 si i = j et 0 sinon; voir le module libre au-dessus.
    • Espace unitaire: Diffère de espaces intérieurs de produits dans ce que R est le domaine complexe, et le produit intérieur a un nom différent, le produit scalaire hermitien, avec des propriétés différentes: symétrique conjugué, bilinéaire, et définie positive. Voir Birkhoff et MacLane (1979: 369).
  • Coté espace vectoriel: un espace vectoriel de telle sorte que les membres du M ont une décomposition somme directe. Voir algèbre graduée ci-dessous.

Quatre opérations binaires.

• Algèbre sur un corps: Un algèbre sur un anneau sauf que R est un champ au lieu d'un anneau commutatif.
  • Jordan algèbre: un anneau en Jordanie sauf que R est un champ.
  • Algèbre de Lie: une algèbre sur un champ en respectant la Jacobi identité, dont le vecteur multiplication, la crochet de Lie notée [u, v], anticommute, ne associe pas, et est nilpotent.
  • Algèbre associative: une algèbre sur un champ, ou d'un module, dont la multiplication vecteur associés.
    • Algèbre linéaire : associatif Algèbre unitaire avec les membres du M étant des matrices . Chaque matrice a une dimension n x m, n et m des entiers positifs. Si l'un de n ou m est égal à 1, la matrice est un vecteur; si les deux sont 1, ce est un scalaire. Ajout de matrices est défini que si elles ont les mêmes dimensions. La multiplication de matrices , notée par concaténation, est la multiplication du vecteur. Laissez matrice A soit n x m et la matrice B soient i x j. Puis AB est définie si et seulement si m = i; BA, si et seulement si j = n. Il existe aussi une matrice m m x I et un n x n matrice J tel que AI = JA = A. Si u et v sont des vecteurs ayant les mêmes dimensions, ils ont un produit intérieur, désigné <u, v>. Il ya donc une base orthonormée; voir l'espace de produit interne ci-dessus. Il ya une fonction unaire, le facteur déterminant , de la place (n x n pour tout n) matrices à R.
    • Algèbre commutative: une algèbre associative dont la multiplication vecteur navette.
      • Algèbre symétrique: une algèbre commutative avec le vecteur de unifère multiplication.

Systèmes composites: Algèbres multilinéaires. Deux ensembles, V et K quatre opérations binaires.:

1. Les membres du V sont multivecteurs (y compris les vecteurs), désignés par les lettres minuscules latine. V est un groupe abélien sous addition multivecteur, et un Monoid sous produit externe. Le produit va externe sous divers noms, et est multilinéaire en principe, mais généralement bilinéaire. Le produit externe définit les multivecteurs de manière récursive à partir des vecteurs. Ainsi, les membres de V ont un «degré» (voir algèbre graduée ci-dessous). Multivecteurs peuvent avoir un produit intérieur ainsi, notée u • v: V × V → K, ce est symétrique , linéaire et définie positive; voir l'espace de produit interne ci-dessus.
2. Les propriétés et la notation de K sont les mêmes que ceux de R ci-dessus, sauf que K -1 peut avoir en tant que membre distingué. K est généralement le domaine réel, comme algèbres multilinéaires sont conçus pour décrire les phénomènes physiques sans nombres complexes .
3. La multiplication des scalaires et multivecteurs, V × V → K, a les mêmes propriétés que la multiplication des scalaires et des éléments de module qui fait partie d'un module.

• Algèbre graduée: une algèbre associative avec le produit externe unifère. Les membres de V ont une décomposition de somme directe résultant dans leur ayant un «degré», avec des vecteurs ayant un degré 1. Si u et v ont degré i et j, respectivement, le produit externe de u et v est de degré i + j. V a aussi un membre éminent 0 pour chaque degré possible. Ainsi tous les membres de V ayant le même degré forment un groupe abélien sous addition.
  • Algèbre extérieure (également Grassmann algèbre): une algèbre graduée dont la produit externe anticommutative, noté ∧ infixe, est appelé produit extérieur. V a une base orthonormée. v ₁ v ₂ ∧ ∧ ... ∧ c _k = 0 si et seulement si v _1, ..., v _k sont linéairement dépendant. Multivecteurs ont également un produit scalaire.
    • Algèbre de Clifford: une algèbre extérieur avec un symétrique forme bilinéaire Q: V × V → K. Le cas spécial Q = 0 donne une algèbre extérieure. Le produit extérieur est écrit <u, v>. Habituellement, <e _i, e _i> = -1 (habituellement) ou une (autre).
    • Algèbre géométrique: une algèbre extérieur dont extérieure (appelé géométrique) produit est désigné par concaténation. Le produit géométrique de multivecteurs parallèles trajets, celui de vecteurs orthogonaux anticommute. Le produit d'un scalaire avec Multivector déplacements. Vv donne un scalaire.
      • Grassmann-Cayley algèbre: une algèbre géométrique sans produit interne.

Exemples

Certains univers récurrents: N = nombres naturels ; Z = entiers ; Q = nombres rationnels ; R = nombres réels ; C = nombres complexes .

N est un système unaire pointu, et par addition et multiplication, est à la fois l'interprétation standard de Arithmétique de Peano et un commutative semiring.

Algèbres de Boole sont à la fois semigroupes, treillis, et anneaux. Ils seraient même groupes abéliens si les éléments d'identité et inverses étaient identiques à la place de compléments.

structures de groupe comme

• N non nul sous addition (+) est un magma.
• N sous addition est un magma à une identité.
• Z sous la soustraction (-) est un quasigroupe.
• Q Nonzero sous division (÷) est un quasigroupe.
• Chaque groupe est une boucle, car un * x = b si et seulement si X = A ^-1 * b, et y * a = b si et seulement si y = b * ^-1.
• 2x2 matrices (de non-zéro déterminant) avec la multiplication de matrices forment un groupe.
• Z sous l'addition (+) est un groupe abélien.
• Q Nonzero vertu multiplication (×) est un groupe abélien.
• Chaque groupe cyclique G est abélien, parce que si x, y sont dans G, alors xy = a ^m a ⁿ = a ^{m + n} = a ^{n + m} = ⁿ a ^m = yx. En particulier, Z est un groupe abélien, par addition, comme ce est le entiers modulo n Z / n Z.
• Un monoïde est un catégorie avec un seul objet, auquel cas la composition des morphismes et morphisme identité interpréter monoid multiplication et élément d'identité, respectivement.
• Le Algèbre de Boole 2 est une algèbre limite.
• Plus des exemples de groupes et liste des petits groupes.

Treillis

• Le les sous-groupes normaux d'un groupe, et le sous-modules d'un module, sont des réseaux modulaires.
• Tout terrain de jeux, et de la connecteurs de logique du premier ordre , sont des modèles de l'algèbre de Boole.
• Les connecteurs de logique intuitionniste former un modèle de Heyting algèbre.
• Le logique modale S4 est un modèle de intérieur algèbre.
• Arithmétique de Peano et le plus set théories axiomatiques , y compris ZFC, NBG, et De nouvelles fondations, peuvent procéder à une refonte des modèles de rapport algèbre.

structures en forme d'anneau

• L'ensemble R [X] de tous les polynômes sur un anneau de coefficient R est un anneau.
• des matrices de 2x2 avec addition et de multiplication de la matrice forment un cycle.
• Si n est un entier positif, alors l'ensemble Z _n = Z / n Z des entiers modulo n (le groupe cyclique additif d'ordre n) formant un cycle ayant n éléments (voir arithmétique modulaire).
• Ensembles de numéros hypercomplexes étaient les premiers prototypes de structures algébriques maintenant appelé sonne.

Integral domaines

• Z par addition et multiplication est intègre.
• Le entiers p-adiques.

Les champs

• Chacun de Q, R et C, par addition et multiplication, est un champ.
• R totalement ordonné par «<» de la manière habituelle est une commandé terrain et est catégorique. Les motifs sur le terrain réel résultant réel et analyse fonctionnelle.
  • R contient plusieurs sous-zones intéressantes, la algébrique, la calculable, et de la numéros définissables.
• Une corps de nombres algébriques est un ensemble fini extension de domaine de Q, ce est un champ contenant Q qui est de dimension finie comme un espace vectoriel sur Q. Champs de nombres algébriques sont très importants dans la théorie des nombres .
• Si q> 1 est une puissance d'un nombre premier , alors il existe ( jusqu'à isomorphisme) exactement un corps fini à q éléments, généralement notée F _q, ou dans le cas où q est se amorcer, par Z / q Z. Ces champs sont appelés Corps de Galois, d'où le GF notation alternatif (q). Tous les champs finis sont isomorphes à certains corps de Galois.
  • Étant donné un nombre premier p, l'ensemble Z = Z _p / p Z des entiers modulo p est le champ fini à p éléments: F _p = {0, 1, ..., p - 1} où les opérations sont définis en effectuant l'opération en Z, en divisant par p et prendre le reste; voir arithmétique modulaire.

Permettre structure supplémentaire

Structures algébriques peuvent également être définies sur des ensembles avec la structure ajoutée de nature non-algébrique, comme une topologie . La structure ajoutée doit être compatible, dans un certain sens, avec la structure algébrique.

• Groupe ordonné: un groupe avec un compatible ordre partiel. Ce est à dire, S est partiellement ordonné.
• Groupe totalement ordonné: un groupe dont S est un ordre linéaire.
• Groupe Archimède: un groupe totalement ordonné pour lequel le Archimédien détient.
• groupe de Lie: un groupe dont S a une surface lisse compatible collecteur structure.
• Groupe topologique: un groupe dont S a une topologie compatible.
• Espace vectoriel topologique: un espace vectoriel dont M a une topologie compatible; un sur-ensemble de espaces vectoriels normés.
• Espaces de Banach, Espaces de Hilbert, Espaces de produits internes
• Vertex algèbres d'opérateurs

La théorie des catégories

La discussion ci-dessus a été jeté en termes de élémentaire abstraite et algèbre universelle. La théorie des catégories est une autre façon de raisonner sur les structures algébriques (voir, par exemple, Mac Lane 1998). Une catégorie est une collection d'objets avec morphismes associés. Chaque structure algébrique a sa propre notion de homomorphisme, à savoir toute fonction compatible avec l'opération (s) définissant la structure. De cette manière, chaque structure algébrique donne lieu à une catégorie. Par exemple, le catégorie de groupes possède tous les groupes comme des objets et toutes groupe homomorphismes que morphismes. Cette catégorie béton peut être considérée comme un catégorie des ensembles avec ajoutée catégorie théorie structure. De même, la catégorie de groupes topologiques (dont les morphismes sont les homomorphismes continus du groupe) est une catégorie des espaces topologiques avec une structure supplémentaire. Un foncteur d'oubli entre les catégories de structures algébriques "oublie" une partie d'une structure.

Il existe différents concepts de la théorie des catégories qui tentent de capturer le caractère algébrique d'un contexte, par exemple

• algébrique
• essentiellement algébrique
• présentable
• localement présentable
• foncteurs et catégories monadiques
• propriété universelle.