Topologie

Un Ruban de Möbius, un objet avec une seule surface et un bord; ces formes sont un objet d'étude en topologie.

Topologie ( grecs topos, «lieu», et logos, «étude») est une branche de mathématiques qui est une extension de la géométrie . Topologie commence par un examen de la nature de l'espace, d'enquêter à la fois sa structure fine et sa structure globale. Topologie se appuie sur la théorie des ensembles , compte tenu de deux ensembles de points et les familles des ensembles.

Le mot topologie est utilisée à la fois pour la zone d'étude et pour une famille de jeux avec certaines propriétés décrites ci-dessous qui sont utilisés pour définir une espace topologique. D'une importance particulière dans l'étude de la topologie sont des fonctions ou des cartes qui sont homéomorphismes . Officieusement, ces fonctions peuvent être considérés comme ceux qui se étendent l'espace sans le déchirer ou de coller parties distinctes ensemble.

Lorsque la discipline a été bien fondée, vers la fin du 19ème siècle , il a été appelé geometria situs ( latine géométrie de place) et analysis situs ( latine analyse de place). De autour de 1925-1975 ce était un domaine de croissance important au sein de mathématiques.

La topologie est une grande branche des mathématiques qui comprend de nombreux sous-champs. La division la plus fondamentale au sein de la topologie est point mis en topologie, qui enquête sur des concepts tels que la compacité , connectivité, et responsabilisation; topologie algébrique, qui enquête sur des concepts tels que homotopie et homologie; et topologie géométrique, qui étudie les collecteurs et leurs incorporations, y compris la théorie des nœuds .

Voir aussi: topologie glossaire pour les définitions de certains des termes utilisés dans la topologie et espace topologique pour un traitement plus technique du sujet.

Histoire

Le Sept ponts de Königsberg est un fameux problème résolu par Euler.

La branche des mathématiques appelée topologie maintenant a commencé avec l'enquête de certaines questions en géométrie. Leonhard Euler s ' 1736 sur papier Sept ponts de Königsberg est considéré comme l'un des premiers résultats topologiques.

Le terme "topologie" a été introduit en allemand en 1847 par Johann Benedict Listing dans Vorstudien zur Topologie, Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, pp. 67, 1848. Toutefois, Liste avait déjà utilisé le mot pour dix ans de correspondance. "Topologie", sa forme anglaise, a été introduite en 1883 dans la revue Nature de distinguer «géométrie qualitative de la géométrie ordinaire dans laquelle les relations quantitatives principalement sont traités". Le topologist terme dans le sens d'un spécialiste en topologie a été utilisé en 1905 dans le magazine Spectator.

Topologie moderne dépend fortement sur les idées de la théorie des ensembles , développés par Georg Cantor dans la dernière partie du 19e siècle. Cantor, en plus d'établir les idées de base de la théorie des ensembles, ensembles de points considérés dans l'espace euclidien , dans le cadre de son étude des série de Fourier.

Henri Poincaré publié Analysis situs en 1895, introduisant les concepts de homotopie et homologie, qui sont maintenant considérés comme faisant partie de la topologie algébrique.

Maurice Fréchet, unifier le travail sur les espaces de fonctions de Cantor, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli et d'autres, a présenté le espace métrique en 1906. Un espace métrique est maintenant considéré comme un cas particulier d'un espace topologique général. En 1914, Felix Hausdorff a inventé le terme «espace topologique" et a donné la définition de ce qui est maintenant appelé Espace séparé. Dans le langage courant, un espace topologique est une légère généralisation des espaces Hausdorff, donnée en 1922 par Kazimierz Kuratowski.

Pour plus de développements, voir topologie point-set et topologie algébrique.

Introduction élémentaire

Une déformation continue ( d'homotopie ) d'une tasse de café dans un beignet ( tore ) et le dos.

Espaces topologiques apparaissent naturellement dans presque toutes les branches des mathématiques. Cela a fait de la topologie un des grands concepts unificateurs des mathématiques. Topologie générale, ou point topologie de jeu, définit et étudie les propriétés des espaces et des cartes telles que connexité, compacité et la continuité. Topologie algébrique utilise des structures de l'algèbre abstraite , en particulier le groupe d'étudier espaces topologiques et les cartes entre elles.

L'idée de motivation derrière topologie est que certains problèmes géométriques dépendent pas de la forme exacte des objets concernés, mais plutôt sur la façon dont ils sont mis ensemble. Par exemple, le carré et le cercle ont de nombreuses propriétés en commun: ils sont tous les deux une objets tridimensionnels (d'un point de vue topologique) et les deux se séparent le plan en deux parties, la partie intérieure et la partie extérieure.

Un des premiers articles de topologie est la démonstration, par Leonhard Euler , qu'il était impossible de trouver un itinéraire à travers la ville de Königsberg (aujourd'hui Kaliningrad) qui traverserait chacun de ses sept ponts exactement une fois. Ce résultat ne dépend pas de la longueur des ponts, ni sur leur distance les uns des autres, mais seulement sur les propriétés de connectivité: ponts qui sont connectés à laquelle des îles ou des berges. Ce problème, la Sept ponts de Königsberg, est maintenant un problème célèbre en mathématiques préliminaires, et ont conduit à la branche des mathématiques connue sous le nom la théorie des graphes.

De même, la boule de poils théorème de topologie algébrique dit que "on ne peut pas peigner les cheveux sur une boule lisse." Ce fait est immédiatement convaincant pour la plupart des gens, même se ils ne reconnaissent pas la déclaration plus formelle du théorème, qu'il n'y a pas non nulle continu vecteur tangent champ sur la sphère . Comme avec les ponts de Königsberg, le résultat ne dépend pas de la forme exacte de la sphère; elle se applique à des formes de poire et en fait tout type de blob (sous réserve de certaines conditions relatives à la régularité de la surface), tant qu'il n'a pas de trous.

Pour faire face à ces problèmes qui ne reposent pas sur la forme exacte des objets, il faut être clair sur ce que tout propriétés ces problèmes ne dépendent. De ce besoin naît la notion d'équivalence topologique. L'impossibilité de traverser chaque pont une seule fois se applique à tout arrangement de ponts topologiquement équivalentes à celles de Königsberg, et la balle théorème poilue se applique à ne importe quel espace topologiquement équivalent à une sphère.

Intuitivement, deux espaces sont topologiquement équivalents si l'on peut être déformée dans l'autre sans couper ou coller. Une plaisanterie traditionnelle est qu'une topologist ne peut pas dire la tasse de café sur laquelle elle boit de la beigne elle mange, depuis un beignet suffisamment pliable pourrait être remodelé à la forme d'une tasse de café en créant une fossette et progressivement l'agrandissant, tout en réduisant le trou dans une poignée.

Un exercice d'introduction simple consiste à classer les lettres minuscules de l' alphabet anglais selon l'équivalence topologique. (Les lignes des lettres sont supposés avoir la largeur non nulle.) Dans la plupart des polices dans l'usage moderne, il ya une classe {a, b, d, e, o, p, q} de lettres avec un trou, une classe {c, f, h, k, l, m, n, r, s, t, u, v, w, x, y, z} de lettres sans trou, et une classe {i, j} de lettres comprenant de deux pièces. g peut soit sa place dans la classe avec un trou, ou (dans certaines polices), il peut être le seul élément d'une classe de lettres avec deux trous, en fonction de si oui ou non la queue est fermé. Pour une opération plus complexe, il peut être supposé que les lignes ont une largeur nulle; on peut obtenir plusieurs classifications différentes selon lesquelles la police est utilisé. Lettre topologie est d'une importance pratique dans la typographie pochoir: La police Braggadocio, par exemple, peut être coupé d'un avion sans se écrouler.

Définition mathématique

Soit X un ensemble et soit T une famille de sous-ensembles de X. Alors T est une topologie sur X si

1. Tant l'ensemble vide et X sont des éléments de T.
2. Tout syndicat arbitrairement de nombreux éléments de T est un élément de T.
3. Toute intersection d'un nombre fini d'éléments de T est un élément de T.

Si T est une topologie sur X, alors X avec T est appelé un espace topologique.

Tous les jeux en T sont appelés ouvrir; noter que, en général tous les sous-ensembles de X échéant en T. Un sous-ensemble de X est dit être fermé si son complément est en T (ce est à dire, il est ouvert). Un sous-ensemble de X peut être ouvert, fermé, deux, ou aucun.

Une fonction ou une carte d'un espace topologique à un autre est appelé continue si l'image inverse de tout ouvert est ouvert. Si la fonction de correspondance entre les nombres réels pour les nombres réels (à la fois avec l'espace de la topologie standard), puis continue de cette définition correspond à la définition de l'en continu calcul . Si une fonction continue est une-à-une et sur et si l'inverse de la fonction est également continue, alors la fonction est appelée homéomorphisme et le domaine de la fonction est dit être homéomorphe à la plage. Une autre façon de le dire, ce est que la fonction a une extension naturelle de la topologie. Si deux espaces sont homéomorphes, ils ont des propriétés topologiques identiques, et sont considérés comme étant topologiquement identiques. Le cube et la sphère sont homéomorphes, comme le sont la tasse de café et le beignet. Mais le cercle ne est pas homéomorphe à l'anneau.

Certains théorèmes de topologie générale

• Chaque fermé intervalle en R de longueur finie est compacte . Plus, ce est vrai: Dans R ^n, un ensemble est compact si et seulement si il est fermé et borné. (Voir Théorème de Heine-Borel).
• Chaque image continue d'un espace compact est compact.
• De Tychonoff théorème: La (arbitraire) produit d'espaces compacts est compact.
• Un sous-espace compact d'un espace séparé est fermé.
• Chaque séquence de points dans un espace métrique compact dispose d'une suite convergente.
• Chaque R est dans l'intervalle relié.
• L'image continue d'un espace connexe est connecté.
• Un espace métrique est Séparé, également normale et paracompact.
• Le théorèmes de metrization offrent des conditions nécessaires et suffisantes pour une topologie à venir à partir d'un métrique.
• Le Théorème de prolongement de Tietze: Dans un espace normal, chaque fonction numérique continue définie sur un sous-espace fermé peut être étendue à une carte continue définie sur tout l'espace.
• Le Théorème de Baire: Si X est un remplir un espace métrique ou localement compact espace séparé, puis l'intérieur de chaque union de dénombrable nombre nulle part ensembles denses est vide.
• Sur un paracompact Espace séparé tous les couvercle ouvert admet un partition de l'unité subordonnée à la couverture.
• Chaque chemin connecté, localement connexe par arcs et semi-espace localement simplement connexe a une une couverture universelle.

Topologie générale a également quelques connexions surprenantes à d'autres domaines des mathématiques. Par exemple:

• en théorie des nombres, Démonstration de Fürstenberg de l'infinité des nombres premiers.

Quelques notions utiles de la topologie algébrique

Voir également liste de sujets de topologie algébrique.

• Homology cohomologie: Nombres de Betti, caractéristique d'Euler .
• Intuitivement applications attractives: Théorème du point fixe de Brouwer, Hairy théorème de boule, Borsuk-Ulam théorème, Théorème du sandwich au jambon.
• Homotopie groupes (y compris la groupe fondamental).
• Classes de Chern, Les classes Stiefel-Whitney, Les classes Pontryagin.

Généralisations

Parfois, il faut utiliser les outils de la topologie, mais un «ensemble de points" ne est pas disponible. En inutile topologie on considère la place du réseau d'ouverts que la notion de base de la théorie, tandis que Topologies de Grothendieck sont définies sur certaines structures arbitraires catégories qui permettent la définition de gerbes sur ces catégories, et avec ce que la définition des théories très généraux de cohomologie.