Géométrie
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Géométrie ( grec γεωμετρία; geo = terre, Metria = mesure) est une partie de mathématiques se occupent de questions de taille, la forme et la position relative des chiffres et avec des propriétés de l'espace. La géométrie est une des sciences les plus anciennes. Initialement un ensemble de connaissances pratiques concernant longueurs, zones et volumes , dans le troisième siècle avant JC, la géométrie a été mis dans un forme axiomatique par Euclide , dont le traitement - la géométrie euclidienne - établir une norme pour de nombreux siècles à suivre. Le domaine de l'astronomie , en particulier représenter la position des étoiles et des planètes sur la sphère céleste, a servi comme une source importante de problèmes géométriques au cours des prochains millénaires et demi.
L'introduction de coordonne par René Descartes et le développement simultané de l'algèbre ont marqué une nouvelle étape pour la géométrie, puisque des figures géométriques, comme courbes planes, pourraient désormais être représentés analytiquement , ce est à dire, avec des fonctions et des équations. Ceci a joué un rôle clé dans l'émergence de calcul au XVIIe siècle. En outre, la théorie de la perspective a montré qu'il ya plus à la géométrie que juste les propriétés métriques de chiffres. Le sujet de la géométrie a été enrichie par l'étude de la structure intrinsèque des objets géométriques qui provenaient de Euler et Gauss et ont conduit à la création de la topologie et de la géométrie différentielle .
Depuis le XIXe siècle de la découverte géométrie non-euclidienne, la notion de l'espace a subi une transformation radicale. La géométrie contemporaine considère collecteurs , des espaces qui sont considérablement plus abstrait que le familier espace euclidien , dont ils ne ressemblent à peu près à petites échelles. Ces espaces peuvent être dotés d'une structure supplémentaire, permettant de parler de longueur. La géométrie moderne a de multiples liens solides avec la physique , illustrés par les liens entre Géométrie riemannienne et la relativité générale . Une des théories les plus jeunes physiques, la théorie des cordes , est aussi très géométrique en saveur.
La nature visuelle de la géométrie, il est d'abord plus accessibles que d'autres parties des mathématiques, comme l'algèbre ou de la théorie des nombres . Cependant, le langage géométrique est également utilisé dans des contextes qui sont loin de son traditionnel, la provenance euclidienne, par exemple, dans la géométrie fractale , et surtout dans géométrie algébrique.
Histoire de la géométrie
Les débuts de la géométrie plus tôt enregistrées peuvent être attribués à l'ancienne Mésopotamie , l'Egypte et le vallée de l'Indus du monde 3000 av. Géométrie début était une collection de principes empiriquement découvertes concernant les longueurs, les angles, les zones et les volumes, qui ont été mis au point pour répondre à un besoin pratique arpentage, la construction, l'astronomie , et de divers métiers. Les premiers textes connus sur la géométrie sont Égyptien Papyrus Rhind et Papyrus de Moscou, le Tablettes d'argile babyloniennes, et l' indienne Shulba soutras, tandis que les Chinois avaient le travail de Mozi, Zhang Heng, et de la Neuf chapitres sur l'art mathématique, édité par Liu Hui.
D'Euclide The Elements of Geometry (c. 300 BCE) était l'un des plus importants textes anciens sur la géométrie, dans lequel il a présenté la géométrie dans un idéal forme axiomatique, qui est venu à être connu comme la géométrie euclidienne . Le traité ne est pas, comme on le pense parfois, un recueil de tout ce qui Mathématiciens hellénistiques savaient sur la géométrie à ce moment; ce est plutôt une introduction élémentaire à elle; Euclide lui-même écrit huit livres plus avancés sur la géométrie. Nous savons par d'autres références qui Euclide était pas le premier manuel de géométrie élémentaire, mais les autres sont tombés en désuétude et ont été perdus.
Dans le Moyen-Age , Mathématiciens musulmans ont contribué au développement de la géométrie, en particulier la géométrie algébrique et algèbre géométrique. Al-Mahani (b. 853) eut l'idée de réduire les problèmes géométriques telles que la duplication du cube à des problèmes dans l'algèbre . Thābit ibn Qurra (connu sous le nom de Thebit latine ) (836-901) traitée arithmétiques opérations appliquées à rapports de grandeurs géométriques, et contribué au développement de la géométrie analytique . Omar Khayyam (1048-1131) a trouvé des solutions géométriques à équations cubiques, et ses études approfondies de la postulat des parallèles a contribué au développement de La géométrie non euclidienne.
Au début du 17e siècle, il y avait deux développements importants dans la géométrie. Le premier, et le plus important, était la création de la géométrie analytique , ou de la géométrie avec coordonne et équations , par René Descartes (1596-1650) et Pierre de Fermat (1601-1665). Ce était un précurseur nécessaire à l'élaboration de calcul et une science quantitative précise de la physique . La deuxième évolution géométrique de cette période a été l'étude systématique des par la géométrie projective Girard Desargues (1591-1661). La géométrie projective est l'étude de la géométrie sans mesure, juste l'étude de la façon dont les points se alignent avec l'autre.
Deux développements en géométrie dans le XIXe siècle a changé la façon dont il avait été étudié précédemment. Il se agissait de la découverte de géométries non-euclidiennes par Lobachevsky, Bolyai et Gauss et de la formulation de symétrie comme la prise en compte dans le central Programme d'Erlangen Felix Klein (qui a généralisé la euclidienne et des géométries non euclidiennes). Deux des géomètres maîtres de l'époque étaient Bernhard Riemann , travaillant principalement avec les outils de l'analyse mathématique , et l'introduction de la surface de Riemann , et Henri Poincaré, le fondateur de topologie algébrique et la théorie géométrique de systèmes dynamiques.
En conséquence de ces changements majeurs dans la conception de la géométrie, la notion d '«espace» est devenu quelque chose de riche et variée, et le fond naturel pour les théories aussi différents que analyse complexe et la mécanique classique . Le type traditionnel de la géométrie a été reconnu comme celui de espaces homogènes, ces espaces qui ont un approvisionnement suffisant de symétrie, de sorte que d'un point à ils regardent tout de même.
Quelle est la géométrie?
Le développement de la géométrie enregistrée se étend sur plus de deux millénaires. Il ne est guère surprenant que les perceptions de ce qui constitue la géométrie évolué à travers les âges. Les paradigmes géométriques présentées ci-dessous doivent être considérés comme ' Tableaux d'une exposition »d'une sorte: elles ne épuisent pas le sujet de la géométrie, mais reflètent plutôt certains de ses thèmes définissant.
Géométrie pratique
Il ya peu de doute que la géométrie est issue d'une science pratique, concernés par arpentage, des mesures, surfaces et volumes. Parmi les réalisations notables, on trouve des formules pour les longueurs, les zones et les volumes , comme théorème de Pythagore , circonférence et aire d'un cercle, une zone de triangle , un volume de cylindre, sphère , et un pyramide. Développement de l'astronomie a conduit à l'émergence de la trigonométrie et trigonométrie sphérique, conjointement avec les techniques de calcul auxiliaires.
La géométrie axiomatique
Une méthode de calcul de certaines distances ou des hauteurs inaccessibles basée sur similitude des figures géométriques et attribué à Thales présageaient approche plus abstraite à la géométrie prise par Euclide dans ses Éléments , l'un des livres les plus influents jamais écrits. Euclid introduit certaine axiomes, ou postule, exprimant propriétés primaires ou évidentes de points, lignes, et des avions. Il se mit à en déduire rigoureusement autres propriétés par le raisonnement mathématique. Le trait caractéristique de l'approche de la géométrie d'Euclide était sa rigueur. Au XXe siècle, David Hilbert un raisonnement axiomatique dans sa tentative de mettre à jour Euclide et fournir des bases modernes de la géométrie.
Constructions géométriques
Scientifiques anciens accordé une attention particulière à la construction d'objets géométriques qui avaient été décrites dans une autre manière. Les instruments classiques autorisés dans des constructions géométriques sont la règle et au compas . Cependant, certains problèmes se sont avérés être difficiles ou impossibles à résoudre par ces moyens seul, et à l'aide de constructions ingénieuses paraboles et d'autres courbes, ainsi que des dispositifs mécaniques, ont été trouvés. L'approche des problèmes géométriques avec des moyens géométriques ou mécaniques est connu comme géométrie synthétique.
Numéros de géométrie
Déjà Pythagoriciens examiné le rôle des numéros en géométrie. Cependant, la découverte de longueurs incommensurables, qui contredisaient leurs vues philosophiques, faites les abandonnent numéros (abstraites) en faveur de (béton) les quantités géométriques, telles que la longueur et la zone de chiffres. Numéros ont été réintroduits dans la géométrie sous forme de coordonne par Descartes , qui a réalisé que l'étude de formes géométriques peut être facilitée par leur représentation algébrique. Géométrie analytique applique des méthodes de l'algèbre aux questions géométriques, généralement en rapportant géométriques courbes algébriques et équations . Ces idées ont joué un rôle clé dans le développement de calcul au XVIIe siècle et a conduit à la découverte de nombreuses nouvelles propriétés des courbes planes. Moderne géométrie algébrique considère questions similaires sur un niveau beaucoup plus abstrait.
Géométrie de la position
Même dans les temps anciens, les géomètres considérés comme des questions de position relative ou de la relation spatiale des figures et des formes géométriques. Quelques exemples sont donnés par des cercles inscrits et circonscrits, de polygones , lignes d'intersection et tangent à CONIC sections , les Pappus et Ménélas configurations de points et de lignes. Au Moyen Age, nouvelles et plus compliquées des questions de ce type ont été envisagées: Quel est le nombre maximum de sphères touchant simultanément une sphère donnée de même rayon ( embrassant problème de nombre)? Ce qui est le plus dense empilement de sphères de taille égale dans l'espace ( Conjecture de Kepler)? La plupart de ces questions impliquées formes «rigide» géométriques, tels que des lignes ou des sphères. Projective, convexe et géométrie discrète sont trois sous-disciplines au sein de géométrie actuelle de jour qui traitent de ces questions connexes et.
Un nouveau chapitre dans Geometria situs a été ouverte par Leonhard Euler , qui hardiment jeté dehors propriétés métriques de figures géométriques et considéré basé leur structure géométrique plus fondamental uniquement sur la forme. Topologie , qui a grandi sur la géométrie, mais transformé en une grande discipline indépendante, fait pas de distinction entre les objets qui peuvent être déformés en permanence dans l'autre. Les objets peuvent néanmoins conserver une certaine géométrie, comme dans le cas de noeuds hyperboliques.
Géométrie delà Euclid
Pour près de deux mille ans depuis Euclide, tandis que la gamme de questions posées et répondues géométriques inévitablement élargi, compréhension de base de l'espace est resté essentiellement le même. Emmanuel Kant a fait valoir qu'il n'y a qu'un seul, absolu, la géométrie, qui est connu pour être vrai a priori par une faculté intérieure de l'esprit: la géométrie euclidienne était synthétique a priori. Ce point de vue dominant a été annulée par la découverte révolutionnaire de la géométrie non-euclidienne dans les travaux de Gauss (qui ne ont jamais publié sa théorie), Bolyai, et Lobachevsky, qui ont démontré que ordinaire espace euclidien ne est qu'une possibilité pour le développement de la géométrie. Une vision large de l'objet de la géométrie a ensuite été exprimée par Riemann dans sa conférence inaugurational über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sur les hypothèses sur lesquelles se fonde la géométrie), publié qu'après sa mort. Nouvelle idée de Riemann de l'espace se est avéré crucial dans Einstein de la théorie de la relativité générale et La géométrie de Riemann, qui considère des espaces très généraux dans lesquels la notion de longueur est définie, est un pilier de la géométrie moderne.
Symétrie
Le thème de la symétrie en géométrie est presque aussi vieux que la science de la géométrie elle-même. Le cercle , polygones réguliers et solides platoniques lieu signification profonde pour de nombreux philosophes anciens et ont été étudiés en détail par le temps d'Euclide. Motifs symétriques se produisent dans la nature et ont été artistiquement rendus dans une multitude de formes, y compris les graphiques ahurissantes MC Escher. Néanmoins, ce ne est que la seconde moitié du XIXe siècle que le rôle fédérateur de symétrie dans les fondations de la géométrie a été reconnue. Felix Klein Programme d'Erlangen a proclamé que, dans un sens très précis, la symétrie, exprimée à travers la notion d'une transformation groupe , détermine ce que la géométrie est. Symétrie dans le classique la géométrie euclidienne est représenté par congruences et mouvements rigides, alors que dans géométrie projective un rôle analogue est joué par collinéations, transformations géométriques qui prennent des lignes droites dans les lignes droites. Cependant, il était dans les nouvelles géométries de Bolyai et Lobachevsky, Riemann, Clifford et Klein, et Sophus Lie que l'idée de Klein de «définir une géométrie via son groupe de symétrie »se est avéré le plus influent. Les deux symétries discrètes et continues jouent un rôle de premier plan dans la géométrie, le premier en topologie et théorie géométrique des groupes, ce dernier en la théorie de Lie et La géométrie de Riemann.
La géométrie moderne
La géométrie moderne est le titre d'un manuel populaire par Dubrovin, Novikov, et Fomenko publiés en 1979 (en russe). A près de 1000 pages, le livre a un fil majeur: structures géométriques de différents types sur les collecteurs et leurs applications dans contemporaine la physique théorique. Un quart de siècle après sa publication, la géométrie différentielle , la géométrie algébrique, géométrie symplectique, et la théorie de Lie présentée dans le livre restent parmi les zones les plus visibles de la géométrie moderne, avec de multiples connexions avec d'autres parties des mathématiques et de la physique.
Géomètres contemporains
Certaines des figures de proue de représentation à la géométrie moderne sont Michael Atiyah, Mikhail Gromov, et William Thurston. La caractéristique commune dans leur travail est l'utilisation de variétés lisses que l'idée de base de l'espace; ils ont par ailleurs assez différentes directions et intérêts. Géométrie est maintenant, en grande partie, l'étude des structures sur les variétés qui ont une signification géométrique, dans le sens de la principe de covariance qui se trouve à la racine de la relativité générale la théorie en physique théorique. (Voir Catégorie: Ouvrages sur les variétés pour une enquête).
Une grande partie de cette théorie se rapporte à la théorie de la symétrie continue, ou en d'autres termes groupes de Lie. Du point de vue fondamental, sur les variétés et leurs structures géométriques, important est le concept de pseudogroupe, définie formellement par Shiing-shen Chern en poursuivant idées introduites par Élie Cartan. Un pseudogroupe peut jouer le rôle d'un groupe de Lie de dimension infinie.
Dimension
Où la géométrie traditionnelle permis dimensions 1 (un ligne), 2 (un plan ) et 3 (notre monde ambiante conçue comme espace à trois dimensions), les mathématiciens ont utilisé dimensions supérieures pour près de deux siècles. Dimension a traversé les étapes de l'être tout entier naturel n, éventuellement infini avec l'introduction de Espace de Hilbert, et tout nombre réel positif dans la géométrie fractale . la théorie de la Dimension est un domaine technique, d'abord au sein topologie générale, qui traite les définitions; en commun avec la plupart des idées mathématiques, la dimension est maintenant défini plutôt qu'une intuition. Lié variétés topologiques ont une dimension bien définie; ce est un théorème ( invariance de domaine) plutôt que quelque chose a priori.
La question de la dimension importe toujours à la géométrie, en l'absence de réponses complètes aux questions classiques. Dimensions de l'espace 3 et 4 du espace-temps sont des cas particuliers dans topologie géométrique. Dimension 10 ou 11 est un nombre clé dans la théorie des cordes . Exactement pourquoi est une chose à laquelle la recherche peut apporter une réponse satisfaisante géométrique.
La géométrie euclidienne contemporain
L'étude de la traditionnelle la géométrie euclidienne est pas mort. Il est maintenant généralement présentée comme la géométrie des espaces euclidiens de dimension quelconque, et de la Groupe euclidienne de mouvements rigides. Les formules fondamentales de la géométrie, comme le théorème de Pythagore , peuvent être présentés de cette façon pour un général espace intérieur du produit.
La géométrie euclidienne est devenu étroitement lié à géométrie algorithmique, infographie, géométrie convexe, géométrie discrète, et certaines zones de la combinatoire . Momentum a été donné à la poursuite des travaux sur la géométrie euclidienne et les groupes euclidiennes par cristallographie et le travail de HSM Coxeter, et peut être vu dans les théories de Groupes de Coxeter et polytopes. Théorie géométrique des groupes est un domaine en pleine expansion de la théorie de la plus générale groupes discrets, se appuyant sur des modèles géométriques et techniques algébriques.
Géométrie algébrique
Le domaine de la géométrie algébrique est l'incarnation moderne de la géométrie cartésienne de coordonnées. Après une période mouvementée de axiomatisation, ses fondations sont dans le XXIe siècle sur une base stable. Soit on étudie le cas «classique» où les espaces sont collecteurs complexes qui peuvent être décrits par équations algébriques; ou la la théorie de régime prévoit une théorie techniquement sophistiqué basé sur générales anneaux commutatifs .
Le style géométrique qui était traditionnellement appelé le École italienne est maintenant connu comme géométrie birationnelle. Il a fait des progrès dans les domaines de threefolds, la théorie des singularités et espaces de modules, ainsi que la récupération et la correction de la majeure partie des résultats plus âgés. Objets de la géométrie algébrique sont maintenant couramment appliquées dans la théorie des cordes , ainsi que la géométrie diophantienne.
Méthodes de la géométrie algébrique se appuient fortement sur la théorie des faisceaux et d'autres parties algèbre homologique. Le Hodge conjecture est un problème ouvert qui a progressivement pris sa place comme l'un des grandes questions pour les mathématiciens. Pour des applications pratiques, la théorie de base de Gröbner et géométrie algébrique réelle sont les principaux sous-champs.
Géométrie différentielle
Géométrie différentielle , qui, en termes simples est la géométrie de courbure, a été d'une importance croissante pour la physique mathématique depuis la suggestion que l'espace ne est pas espace plat. Géométrie différentielle contemporaine est intrinsèque, ce qui signifie que l'espace est un collecteur et la structure est donnée par un Métrique riemannienne, ou analogique, déterminer localement une géométrie qui est variable d'un point à.
Cette approche contraste avec le point de vue extrinsèque, où la courbure signifie la façon dont un espace courbe dans un espace plus grand. L'idée de grands espaces »'est jeté, et au lieu collecteurs portent fibrés vectoriels. Fondamentale de cette approche est la connexion entre courbure et classes caractéristiques, comme en témoignent les généralisée théorème de Gauss-Bonnet.
Topologie et géométrie
Le domaine de la topologie , qui a vu un développement massif dans le 20e siècle, est dans un sens technique un type de la géométrie des transformations, dans lequel transformations sont homéomorphismes . Cela a souvent été exprimée sous la forme du dicton «topologie est la géométrie caoutchouc feuille '. Contemporain topologie géométrique et topologie différentielle, et sous-domaines particuliers tels que La théorie de Morse, serait compté par la plupart des mathématiciens dans le cadre de la géométrie. Topologie algébrique et topologie générale ont passé leurs propres moyens.
Développement axiomatique et ouvert
Le modèle des Eléments d'Euclide, un développement connexe de la géométrie comme une système axiomatique, est dans une tension avec La réduction de René Descartes de la géométrie à l'algèbre au moyen d'un système de coordonnées. Il y avait beaucoup de champions la géométrie synthétique, le développement Euclid style de la géométrie projective, au XIXe siècle, Jakob Steiner étant une figure particulièrement brillant. A la différence de ces approches à la géométrie comme un système fermé, aboutissant à Hilbert axiomes et considéré comme une valeur pédagogique importante, plus la géométrie contemporaine est une question de style. La géométrie synthétique de calcul est maintenant une branche de algèbre informatique.
L'approche cartésienne prédomine actuellement, avec des questions géométriques étant abordés par des outils provenant d'autres parties des mathématiques, et les théories géométriques étant tout à fait ouvert et intégré. Ceci doit être considéré dans le contexte de l'axiomatisation de l'ensemble de mathématiques pures, qui se est passé dans la période c.1900-c.1950: en principe, toutes les méthodes sont sur un pied d'axiomatique commun. Cette approche réductrice a eu plusieurs effets. Il ya une tendance taxonomique, qui, après Klein et son programme d'Erlangen (une taxonomie sur la base du concept de sous-groupe) organise théories selon la généralisation et la spécialisation. Par exemple la géométrie affine est plus générale que la géométrie euclidienne, et plus spécial que la géométrie projective. Toute la théorie de groupes classiques devient ainsi un aspect de la géométrie. Leur la théorie des invariants, à un moment donné au XIXe siècle prises pour être le maître théorie géométrique prospective, ne est qu'un aspect de la générale la théorie des représentations des groupes de Lie. Utilisation un corps fini, les groupes classiques donnent lieu à groupes finis, intensivement étudiés par rapport à la groupes simples finis; et associé géométrie finie, qui a à la fois combinatoire (synthétique) et les côtés algébro-géométrique (cartésiennes).
Un exemple de ces dernières décennies est le Twistor théorie de Roger Penrose, d'abord une théorie intuitive et synthétique, puis par la suite révélé être un aspect de la théorie des faisceaux sur variétés complexes. En revanche, la la géométrie non-commutative de Alain Connes est une utilisation consciente du langage géométrique d'exprimer les phénomènes de la théorie de algèbres de von Neumann, et d'étendre la géométrie dans le domaine des la théorie des anneaux où le loi commutative de la multiplication ne est pas assumée.
Une autre conséquence de l'approche contemporaine, attribuable dans une large mesure sur le lit de Procuste représenté par Bourbakiste axiomatisation essayant de terminer le travail de David Hilbert , est de créer des gagnants et des perdants. Le Ausdehnungslehre (calcul de l'extension) des Hermann Grassmann était depuis de nombreuses années une mare mathématique, en compétition dans trois dimensions contre d'autres théories populaires dans le domaine de la physique mathématiques tels que ceux issus de la quaternions. Dans la forme de général algèbre extérieure, il est devenu un bénéficiaire de la présentation de Bourbaki Algèbre multilinéaire, et à partir de 1950 a été omniprésente. De la même façon, Algèbre de Clifford est devenu populaire, aidé par un livre 1957 Geometric Algebra par Emil Artin. L'histoire de «perdu» les méthodes géométriques, par exemple points infiniment proches, qui ont été abandonnés car ils ne ont pas bien se adapter dans le monde purement mathématique post- Principia Mathematica, est encore écrite. La situation est analogue à l'expulsion de infinitésimales de le calcul différentiel. Comme dans ce cas, les concepts peuvent être récupérés par de nouvelles approches et définitions. Celles-ci pourraient ne pas être unique: géométrie différentielle synthétique est une approche de infinitesimals du côté de logique catégorique, que analyse atypique est au moyen de théorie des modèles.
