Calcul

Calcul ( latine , calcul, une petite pierre utilisé pour le comptage) est une branche de mathématiques qui comprend l'étude des limites , dérivés , intégrales , et série infinie, et constitue une partie importante de l'enseignement universitaire moderne. Historiquement, il a été parfois appelé "le calcul", mais que l'utilisation est rarement vu aujourd'hui. Calcul a des applications répandues dans la science et l'ingénierie et est utilisé pour résoudre des problèmes complexes pour lesquels l'algèbre seule est insuffisante. Calcul se appuie sur l'algèbre , la trigonométrie et géométrie analytique et comprend deux branches principales, calcul différentiel et calcul intégral , qui sont liés par le théorème fondamental du calcul . En mathématiques plus avancées, le calcul est généralement appelé analyse et est définie comme l'étude des fonctions .

Plus généralement, le calcul peut se référer à ne importe quelle méthode ou d'un système de calcul.

Histoire

Aryabhatta avec d'autres mathématiciens indiens au cours des siècles apporté une contribution importante au domaine du calcul.

Sir Isaac Newton est un des plus célèbres contributeurs au développement du calcul les, avec, entre autres choses, l'utilisation du calcul dans ses lois du mouvement et de la gravitation.

Développement

L'histoire de calcul tombe en plusieurs périodes distinctes, notamment l' ancienne , médiévale , et périodes modernes. La période antique introduit certaines des idées du calcul intégral, mais ne semble pas avoir développé ces idées d'une manière rigoureuse et systématique. Calcul des volumes et des domaines, la fonction de base du calcul intégral, on peut faire remonter à la Égyptien Moscou papyrus (c. 1800 BC), dans lequel un Egyptien calculé avec succès le volume de d'une pyramidale tronc. De l'école de Mathématiques grecques, Eudoxe (c. 408-355 BC) a utilisé le méthode de l'épuisement, qui préfigure le concept de la limite, pour calculer les zones et les volumes tout d'Archimède (c. 287-212 BC) a développé cette idée plus loin, inventer heuristiques qui ressemblent calcul intégral . Le méthode de l'épuisement a été plus tard utilisé dans Chine par Liu Hui dans le 3ème siècle après JC afin de trouver l'aire d'un cercle. Il a également été utilisé par Zu Chongzhi dans le 5ème siècle de notre ère, qui l'a utilisé pour trouver le volume d'une sphère .

En l'an 499 l' indienne mathématicien Aryabhata utilisé la notion de infinitésimaux et ont exprimé un problème astronomique sous la forme d'une base équation différentielle . Cette équation a finalement conduit Bhāskara II au 12ème siècle pour développer un début dérivé représentant changement infinitésimal, et il a décrit une forme précoce de " Théorème de Rolle ". Vers l'an 1000, le Mathématicien islamique Ibn al-Haytham (Alhazen) fut le premier à tirer la formule pour la somme de la quatrième pouvoir , et l'aide induction mathématique, il a développé une méthode qui est facilement généralisable à trouver la formule pour la somme de toutes les intégrales des pouvoirs, ce qui était fondamental pour le développement du calcul intégral. Au 12ème siècle, le Persan mathématicien Sharaf al-Din al-Tusi a découvert le dérivé de polynômes cubiques, un résultat important dans le calcul différentiel. Au 14ème siècle, Madhava de Sangamagrama, avec d'autres mathématiciens-astronomes de la École du Kerala, a décrit des cas particuliers de série de Taylor , qui sont traités dans le texte Yuktibhasa.

A l'époque moderne, les découvertes indépendants en calcul ont été faites au début de 17ème siècle Japon, par des mathématiciens tels que Seki Kowa, qui est complétée par la méthode de l'épuisement. En Europe, la seconde moitié du 17ème siècle était une période de grande innovation. Calcul fourni une nouvelle occasion en physique mathématique pour résoudre des problèmes de longue date. Plusieurs mathématiciens ont contribué à ces avancées, notamment John Wallis et Isaac Barrow. James Gregory se est avéré un cas particulier de la seconde théorème fondamental du calcul dans AD 1668.

Gottfried Wilhelm Leibniz a été accusé de le plagiat d'œuvres inédites de Sir Isaac Newton, mais est maintenant considéré comme un inventeur indépendant et collaborateur vers calcul.

Leibniz et Newton tiré ces idées dans un ensemble cohérent et ils sont généralement crédité de l'invention indépendante et presque simultanée de calcul. Newton a été le premier à appliquer le calcul au général physique et Leibniz a développé une grande partie de la notation utilisée dans le calcul d'aujourd'hui; il a souvent passé des jours détermination symboles appropriés pour les concepts. L'idée de base que les deux Newton et Leibniz avaient été le théorème fondamental du calcul .

Lorsque Newton et Leibniz publiées pour la première de leurs résultats, il y avait grande controverse sur laquelle mathématicien (et donc quel pays) mérité crédit. Newton tirait ses résultats du premier, mais Leibniz publié pour la première. Newton selon Leibniz a volé les idées de ses notes inédites, que Newton avait partagé avec quelques membres de la Royal Society. Cette controverse divisé mathématiciens de mathématiciens continentaux anglophone depuis de nombreuses années, au détriment des mathématiques en anglais. Un examen attentif des documents de Leibniz et Newton montre qu'ils sont arrivés à leurs résultats de façon indépendante, avec Leibniz commençant d'abord avec l'intégration et Newton à la différenciation. Aujourd'hui, à la fois Newton et Leibniz sont donné le crédit pour le développement de calcul indépendamment. Il est Leibniz, cependant, qui a donné la nouvelle discipline son nom. Newton a appelé son calcul " la science de fluxions ".

Depuis l'époque de Leibniz et Newton, de nombreux mathématiciens ont contribué à la poursuite du développement du calcul. Au 19ème siècle, le calcul a été mis sur un pied beaucoup plus rigoureuse par les mathématiciens tels que Cauchy, Riemann , et Weierstrass. Ce est également durant cette période que les idées du calcul ont été généralisés à l'espace euclidien et plan complexe . Lebesgue encore généralisé la notion de l'intégrale.

Calcul est un sujet omniprésent dans la plupart des écoles et des universités modernes, et les mathématiciens du monde entier continuent à contribuer à son développement.

Importance

Bien que certaines des idées du calcul ont été développés plus tôt, en Grèce, La Chine, l'Inde , L'Irak, la Perse et Le Japon, l'utilisation moderne de calcul a commencé en l'Europe , au cours du 17ème siècle, lorsque Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz construits sur les travaux de mathématiciens antérieures à introduire les principes de base du calcul. Ce travail a eu un impact fort sur le développement de la physique .

Applications du calcul différentiel incluent les calculs impliquant la vitesse et l'accélération , les la pente d'une courbe, et optimisation. Applications du calcul intégral comprennent les calculs impliquant la zone , le volume , longueur de l'arc, centre de masse , le travail , et pression. Des applications plus avancées comprennent série de puissance et série de Fourier. Calcul peut être utilisé pour calculer la trajectoire d'un amarrage de la navette à une station spatiale ou la quantité de neige dans une allée.

Calcul est également utilisé pour acquérir une compréhension plus précise de la nature de l'espace, le temps et le mouvement. Pendant des siècles, les mathématiciens et les philosophes ont lutté avec les paradoxes impliquant division par zéro ou sommes d'une infinité de nombres. Ces questions se posent dans l'étude du mouvement et de la zone . Le grec ancien philosophe Zeno a donné plusieurs exemples célèbres de cette paradoxes. Calcul fournit des outils, en particulier la limite et de la série infinie, qui résout les paradoxes.

Fondations

En mathématiques, les fondations se réfère à la développement rigoureux d'un sujet à partir d'axiomes et de définitions précises. Travailler sur une base rigoureuse pour le calcul mathématiciens occupé pendant la majeure partie du siècle suivant Newton et Leibniz et est encore dans une certaine mesure un domaine de recherche actif aujourd'hui.

Il ya plus d'une approche rigoureuse à la fondation de calcul. L'une est d'habitude via le concept de limites définies sur la continuum de nombres réels . Une autre solution consiste analyse non standard, dans lequel le système de nombre réel est augmentée avec infinitésimale et nombres infinis. Les bases de calcul sont inclus dans le domaine de la analyse réelle, qui contient les définitions complètes et des preuves des théorèmes du calcul ainsi que des généralisations telles que théorie de la mesure et théorie de la distribution.

Principes

Limites et Infinitesimals

Calcul est généralement développé par la manipulation de très petites quantités. Historiquement, la première méthode de le faire était de infinitésimaux. Ce sont des objets qui peuvent être traités comme des numéros, mais qui sont, en quelque sorte, "infiniment petit". Sur une ligne de nombre, ceux-ci seraient des endroits qui ne sont pas à zéro, mais qui ont une distance nulle de zéro. Aucune nombre non-nul est un infinitésimal, parce que sa distance de zéro est positif. Tout multiple d'un infinitésimal est toujours infiniment petit, en d'autres termes, infinitésimaux ne répondent pas à la Archimédien. De ce point de vue, le calcul est un ensemble de techniques permettant de manipuler infinitésimaux. Ce point de vue est tombé en disgrâce au 19ème siècle, car il est difficile de faire la notion de précision infinitésimale. Cependant, le concept a été relancé dans le 20ème siècle avec l'introduction de analyse non-standard, qui a fourni des bases solides pour la manipulation des infinitésimaux.

Au 19ème siècle, infiniment ont été remplacés par des limites . Limites décrivent la valeur d'une fonction à une certaine entrée en fonction de ses valeurs de l'entrée à proximité. Ils capturent le comportement à petite échelle, comme infinitésimales, mais en utilisant des nombres ordinaires. De ce point de vue, le calcul est un ensemble de techniques de manipulation de certaines limites. Infinitesimals se remplacés par de très petits nombres, et l'infiniment petit comportement de la fonction est trouvé en prenant le comportement limite pour les numéros plus en plus petits. Limites sont faciles à mettre sur des bases rigoureuses, et pour cette raison ils sont l'approche standard pour le calcul.

Dérivés

Tangente au (x, f (x)). Le dérivé f '(x) d'une courbe en un point est la pente (montée sur la distance) de la ligne tangente à cette courbe à ce point.

Le calcul différentiel est l'étude de la définition, propriétés et applications de la dérivée ou pente d'un graphique. Le processus de trouver le dérivé est appelé différenciation. En langage technique, le dérivé est un opérateur linéaire, qui entre en fonction et émet une deuxième fonction, de sorte qu'en chaque point la valeur de la sortie est la pente de l'entrée.

Le concept du dérivé est fondamentalement plus avancé que les concepts rencontrés dans l'algèbre. En algèbre, les élèves apprennent sur les fonctions qui entrer un numéro et la sortie un autre numéro. Par exemple, si les entrées de la fonction de doublement 3, puis il délivre en sortie 6, tandis que si les entrées de la fonction d'élévation au carré 3, il délivre 9. Mais les dérivés entrées et sorties d'une fonction une autre fonction. Par exemple, si les entrées dérivés de fonction d'élévation au carré, alors il envoie la fonction de doublement, parce que la fonction de doublement donne la pente de la fonction quadrature à un moment donné.

Pour comprendre le dérivé, les élèves doivent apprendre la notation mathématique. Dans la notation mathématique, un symbole commun pour la dérivée d'une fonction est une marque apostrophe comme appelé Premier. Ainsi la dérivée de f est f '(parlé "f prime"). La dernière phrase de l'alinéa précédent, dans la notation mathématique, serait écrit

Si l'entrée est une fonction de temps, alors la dérivée de cette fonction est la vitesse à laquelle la fonction change.

Si une fonction est linéaire (qui est, si le graphe de la fonction est une ligne droite), la fonction peut être écrit y = mx + b, où:

.

Cela donne une valeur exacte pour la pente d'une ligne droite. Si la fonction ne est pas une ligne droite, cependant, alors le changement y divisé par le changement de x varie, et nous pouvons utiliser le calcul pour trouver une valeur exacte à un moment donné. (Notez que y et f (x) représentent la même chose:. La sortie de la fonction) La droite passant par deux points d'une courbe est appelée une ligne sécante. La pente, ou montée sur la distance, d'une sécante peuvent être exprimés en

où le Les coordonnées du premier point sont (x, f (x)) et h est la distance horizontale entre les deux points.

Pour déterminer la pente de la courbe, nous utilisons la limite:

.

Travailler sur un cas particulier, nous trouvons la pente de la fonction de mise au carré à l'endroit où l'entrée est de 3 et la sortie est neuf (ce est à dire, f (x) = x ^2, alors f (3) = 9).

La pente de la fonction de mise au carré au point (3, 9) est de 6, ce est-à-dire, il va jusqu'à six fois plus vite que ça va vers la droite.

Le processus de limite vient d'être décrit peut être généralisé à tout point sur le graphique d'une fonction. La procédure peut être visualisé comme dans la figure suivante.

Tangente comme une limite de droites sécantes. La dérivée f '(x) d'une courbe en un point est la pente de la droite tangente à la courbe en ce point. Cette pente est déterminée en considérant la valeur limite des pentes des droites sécantes.

Ici, la fonction concernée (dessinée en rouge) est f (x) = x ³ - x. La ligne de tangente (en vert) qui passe par le point (-3/2, -15 / 8) a une pente de 23/4. A noter que les échelles verticale et horizontale de l'image sont différentes.

Intégrales

Calcul intégral est l'étude des définitions, propriétés et applications de deux concepts liés, l'intégrale indéfinie et l'intégrale définie. Le processus de recherche de la valeur d'une intégrale est appelé intégration. En langage technique, étudie calcul intégral deux connexes opérateurs linéaires.

L'intégrale indéfinie est la primitive, l'opération inverse de la dérivée. F est une intégrale indéfinie de f lorsque f est un dérivé de F. (Cette utilisation de lettres majuscules et minuscules pour une fonction et son intégrale indéfinie est commun dans le calcul.)

Les entrées d'une intégrale définie de fonction et délivre un nombre, ce qui donne la zone située entre la courbe de l'entrée et l' axe des x . La définition technique de l'intégrale définie est la limite d'une somme des aires des rectangles, appelée Somme de Riemann.

Un exemple est motivant les distances parcourues dans un temps donné.

Si la vitesse est constante, que la multiplication est nécessaire, mais si les changements de vitesse, alors nous avons besoin d'une méthode plus puissante de trouver la distance. Un tel procédé consiste à approximer la distance parcourue par le temps jusqu'à la rupture en plusieurs courts intervalles de temps, puis en multipliant le temps écoulé dans chaque intervalle de l'une des vitesses dans cet intervalle, et en prenant ensuite la somme (a Riemann somme) de la distance approximative parcourue dans chaque intervalle. L'idée de base est que si peu de temps se est écoulé, la vitesse restera plus ou moins la même. Cependant, une somme de Riemann ne donne qu'une approximation de la distance parcourue. Nous devons prendre la limite de toutes ces sommes de Riemann pour trouver la distance exacte parcourue.

L'intégration peut être considérée comme la mesure de l'aire sous une courbe, définie par f (x), entre deux points (ici A et B).

Si f (x) dans le diagramme de gauche représente la vitesse car il varie au fil du temps, la distance parcourue entre les temps représentés par A et B est la zone de la région ombrée s.

Pour approximer cette zone, une méthode intuitive consisterait à diviser la distance entre a et b en un nombre de segments égaux, la longueur de chaque segment représenté par le symbole Ax. Pour chaque petit segment, nous pouvons choisir une valeur de la fonction f (x). Appelez cette valeur h. Puis l'aire du rectangle avec une base Ax et la hauteur h donne la distance (temps Ax multiplié par la vitesse h) se sont rendus dans ce segment. Associée à chaque segment est la valeur moyenne de la fonction au-dessus, f (x) = h. La somme de tous ces rectangles donne une approximation de la zone située entre l'axe et la courbe, qui est une approximation de la distance totale parcourue. Une petite valeur pour Ax donnera plus de rectangles et dans la plupart des cas une meilleure approximation, mais pour une réponse exacte nous avons besoin de prendre une limite Ax se rapproche de zéro.

Le symbole de l'intégration est , Un S allongé (qui signifie «somme»). L'intégrale définie se écrit:

et est en lecture "l'intégrale de a à b de f -OF- x par rapport à x."

L'intégrale indéfinie, ou primitive, est écrit:

.

Fonctions différant par seulement une constante ont la même dérivé, et donc la primitive d'une fonction donnée est en fait une famille de fonctions qui ne diffèrent que par une constante. Étant donné que la dérivée de la fonction y = x ² + C, où C est une constante quelconque, est y '= x 2, la primitive de celle-ci est donnée par:

.

Une constante indéterminée comme C dans la primitive est connu comme un constante d'intégration.

Théorème fondamental

Le théorème fondamental du calcul indique que la différenciation et l'intégration sont des opérations inverses. Plus précisément, elle concerne les valeurs de primitives à intégrales définies. Car il est généralement plus facile à calculer une primitive que d'appliquer la définition d'une intégrale définie, le théorème fondamental du calcul fournit un moyen pratique de calculer des intégrales définies. Il peut également être interprété comme un exposé précis du fait que la différenciation est l'inverse de l'intégration.

Le théorème fondamental du calcul déclare: Si une fonction f est continue sur l'intervalle [a, b] et si F est une fonction dont la dérivée est f sur l'intervalle (a, b), puis

En outre, pour tout x dans l'intervalle (a, b),

Cette réalisation, faite à la fois par Newton et Leibniz , qui a basé leurs résultats sur le travail plus tôt par Isaac Barrow, était la clé de la prolifération massive des résultats analytiques après leur travail est devenu connu. Le théorème fondamental fournit une méthode algébrique de calcul nombreuses intégrales-sans effectuer limites définies par les processus pour trouver des formules primitives. Ce est également une solution d'un prototype équation différentielle . Équations différentielles concernent une fonction inconnue à ses dérivés, et sont omniprésents dans les sciences.

Applications

Le de la spirale logarithmique Nautilus shell est une image classique utilisé pour décrire la croissance et les changements liés au calcul

Calcul est utilisé dans toutes les branches des sciences physiques , en sciences informatiques , les statistiques , l'ingénierie , l'économie , des affaires , la médecine et dans d'autres domaines où un problème peut être mathématiquement le modèle et une solution optimale est souhaitée.

Physique fait usage particulier du calcul; tous les concepts de la mécanique classique sont liés par calcul. La masse d'un objet de connue densité , le moment d'inertie des objets, ainsi que l'énergie totale d'un objet dans un champ conservateur peut être trouvée par l'utilisation de calcul. Dans les sous-domaines de l'électricité et le magnétisme calcul peut être utilisée pour trouver le total flux de champs électromagnétiques. Un exemple plus historique de l'utilisation du calcul en physique est la deuxième loi de Newton sur le mouvement , il utilise expressément le terme «taux de variation», qui se réfère à la dérivée: Le taux de changement de la dynamique d'un corps est égale à la force agissant résultante sur le corps et est dans le même sens. Même l'expression commune de la deuxième loi de Newton Force = Masse × Accélération implique le calcul différentiel, car l'accélération peut être exprimée comme la dérivée de la vitesse. La théorie de Maxwell de l'électromagnétisme et d'Einstein de la théorie de la relativité générale sont également exprimés dans la langue du calcul différentiel.

Calcul peut être utilisé conjointement avec d'autres disciplines mathématiques. Par exemple, il peut être utilisé avec l'algèbre linéaire pour trouver le «meilleur ajustement» approximation linéaire pour un ensemble de points dans un domaine.

Dans le domaine de la médecine, le calcul peut être utilisée pour trouver l'angle de branchement optimal d'un vaisseau sanguin de manière à maximiser les flux.

En géométrie analytique , l'étude des graphiques de fonctions, le calcul est utilisée pour trouver des points hauts et les points bas (de maximums et minimums), la pente, concavité et les points d'inflexion.

En économie, le calcul permet la détermination du bénéfice maximal en fournissant un moyen de calculer facilement la fois le coût marginal et revenu marginal.

Calcul peut être utilisé pour trouver des solutions aux équations approximatives, des méthodes telles que la méthode de Newton , Point itération fixe, et approximation linéaire. Par exemple, les engins spatiaux utiliser une variante de la Méthode d'Euler rapprochant cours courbes dans les environnements de gravité zéro.