La distribution Chi-squared

Saviez-vous ...

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chi carré
Densité de probabilité
Fonction de distribution cumulative
Paramètres	$k> 0 \,$ degrés de liberté
Soutien	$x \ in [0; + \ Infty) \,$
PDF	$\ Frac {(1/2) ^ {k / 2}} {\ Gamma (k / 2)} x ^ {k / 2-1} e ^ {- x / 2} \,$
CDF	$\ Frac {\ gamma (k / 2, x / 2)} {\ Gamma (k / 2)} \,$
Signifier	$k \,$
Médiane	environ $k-2/3 \,$
Mode	$k-2 \,$ si $k \ geq 2 \,$
Variance	$2 \, k \,$
Asymétrie	$\ Sqrt {8 / k} \,$
Ex. aplatissement	$12 / k \,$
Entropy	$\ Frac {k} {2} \ + \ \ ln (2 \ Gamma (k / 2)) \ + \ (1 \ -! \ K / 2)!!!! \ Psi (k / 2)$
MGF	$(1-2 \, t) ^ {- k / 2}$ pour $2 \, t <1 \,$
FC	$(1-2 \, i \, t) ^ {- k / 2} \,$

Dans la théorie des probabilités et des statistiques , la distribution du chi carré (aussi chi carré ou $\ Chi ^ 2$ distribution) est l'un des plus largement utilisés théoriques des distributions de probabilité en inférence statistique, par exemple, dans tests de signification statistique. Il est utile parce que, sous des hypothèses raisonnables, les quantités calculées peuvent être facilement prouvé qu'ils ont des distributions qui approximatives à la distribution du chi carré si le hypothèse nulle est vraie.

Si $X_i$ sont k , indépendants normalement distribués variables aléatoires moyenne 0 et de variance 1, alors la variable aléatoire

$Q = \ sum_ {i = 1} ^ k ^ 2 X_i$

est distribuée selon la distribution du chi carré. Ce est généralement écrite

$Q \ sim \ chi ^ 2_k. \,$

La distribution du chi carré a un paramètre: $k$ - Un nombre entier positif qui spécifie le nombre de degrés de liberté (ce est à dire le nombre de $X_i$ )

La distribution du chi carré est un cas particulier de la la distribution gamma.

Les situations les plus connus dans lesquels la distribution du chi carré sont utilisés sont la commune des tests chi-carrés pour qualité de l'ajustement d'une distribution observée à un théorique, et de la indépendance des deux critères de classification des données qualitatives. Cependant, de nombreux autres tests statistiques conduisent à une utilisation de cette distribution. Un exemple est L'analyse de Friedman de la variance par rangs.

Caractéristiques

Densité de probabilité

Un fonction de densité de probabilité de la distribution du chi carré est

$f (x; k) = \ begin {cas} \ displaystyle \ frac {1} {2 ^ {k / 2} \ Gamma (k / 2)} \, x ^ {(k / 2) - 1} e ^ {-x / 2} & \ text {for} x> 0, 0 \\ & \ text {for} x \ le0, \ end {} cas$

où $\ Gamma$ désigne le Fonction Gamma, qui prend valeurs particulières aux demi-entiers.

Fonction de distribution cumulative

Son fonction de distribution cumulative est la suivante:

$F (x; k) = \ frac {\ gamma (k / 2, x / 2)} {\ Gamma (k / 2)} = P (k / 2, x / 2)$

où $\ Gamma (k, z)$ est le fonctions inférieur incomplète Gamma et $P (k, z)$ est le fonction Gamma régularisée.

Tables de cette distribution - souvent dans sa forme cumulative - sont largement disponibles et la fonction est inclus dans de nombreux des feuilles de calcul et tous les progiciels statistiques.

Fonction caractéristique

Le fonction caractéristique de la distribution chi carré est

$\ Chi. (T; k) = (1-2it) ^ {- k / 2} \,$

Propriétés

La distribution du chi carré a de nombreuses applications en inférence statistique , par exemple dans des tests chi-carrés et à l'estimation des écarts . Il entre dans le problème de l'estimation de la moyenne d'une population distribuée normalement et le problème de l'estimation de la pente d'une régression ligne via son rôle dans la distribution t de Student . Il entre tout analyse des problèmes de la variance par son rôle dans le F-distribution, qui est la distribution du rapport de deux khi-deux indépendants des variables aléatoires réparties par leurs degrés respectifs de liberté.

Approximation normale

Si $X \ sim \ chi ^ 2_k$ , Alors que $k$ tend vers l'infini, la distribution de $X$ tend à la normalité. Cependant, la tendance est lente (l'asymétrie est $\ Sqrt {8 / k}$ et l'excès de kurtosis est $12 / k$ ) Et deux transformations sont généralement considérés, dont chacun se rapproche plus rapide que la normale $X$ même:

Fisher empirique a démontré que $\ Sqrt {} 2X$ est approximativement normale de moyenne $\ Sqrt {2k-1}$ et de variance unité. Il est possible d'arriver au même résultat d'approximation normale en utilisant instant correspondant. Pour le voir, considérer la moyenne et la variance d'une variable aléatoire Chi-distribués $z = \ sqrt {X}$ , Qui sont donnés par $\ Mu_z = \ sqrt {2} \ frac {\ Gamma \ left (k / 2 + 1/2 \ right)} {\ Gamma \ gauche (k / 2 \ right)}$ et $\ Sigma_z ^ 2 = k \ mu_z ^ 2$ Où $\ Gamma (\ cdot)$ est la fonction Gamma. Le rapport particulier des fonctions Gamma dans $\ Mu_z$ a le développement en série suivant :

$\ Frac {\ Gamma \ left (N + 1/2 \ right)} {\ Gamma \ left (N \ right)} = \ sqrt {N} \ left (1- \ frac {1} {} 8N + \ frac {1} {2} ^ 128N + \ frac {5} {3} 1024N ^ - \ frac {21} {4} 32768N ^ + \ ldots \ droite).$ Quand $N \ gg 1$ , Ce rapport peut être approchée comme suit: $\ Frac {\ Gamma \ left (N + 1/2 \ right)} {\ Gamma \ left (N \right)}\approx\sqrt{N}\left(1-\frac{1}{8N}\right)\approx\sqrt{N}\left(1-\frac{1}{4N}\right)^{0.5}=\sqrt{N-1/4}.$

Alors, simple moment résultats correspondants dans l'approximation suivante $z$ : $z \ sim {\ mathcal N} \ left (\ sqrt {k-1/2}, \ frac {1} {2} \ right)$ D'où il résulte que $\ Sqrt {} 2X \ sim {\ mathcal N} \ left (\ sqrt {2k-1}, 1 \ right)$ .

Wilson et Hilferty ont montré en 1931 que $\ Sqrt [3] {X / k}$ est approximativement normale de moyenne $1-2 / (9k)$ et la variance $2 / (9k)$ .

Le valeur attendue d'une variable aléatoire ayant une distribution chi-carré avec $k$ degrés de liberté est $k$ et la variance est $2k$ . La médiane est donnée approximativement par

$k \ frac {2} {3} + \ frac {4} {} 27k - \ frac {} {8 729k ^ 2}.$

Notez que les deux degrés de liberté conduit à une distribution exponentielle .

Entropie de l'information

Le entropie de l'information est donnée par

$H = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f (x; k) \ ln (f (x; k)) dx = \ frac {k} {2} + \ ln \ left (2 \ Gamma \ left ( \ frac {k} {2} \ right) \ right) + \ left (1 - \ frac {k} {2} \ right) \ psi (k / 2).$

où $\ Psi (x)$ est le Fonction digamma.

Distributions connexes

$X \ sim \ mathrm {} exponentielle (\ lambda = \ frac {1} {2})$ est une distribution exponentielle si $X \ sim \ chi_2 ^ 2$ (Avec 2 degrés de liberté).
$Y \ sim \ chi_k ^ 2$ est une distribution de chi-carré si $Y = \ {sum_ m = 1} ^ k ^ 2 X_m$ pour $X_i \ sim N (0,1)$ indépendante qui sont normalement distribué .
Si le $X_i \ sim N (\ mu_i, 1)$ disposer de moyens non nuls, puis $Y = \ {sum_ m = 1} ^ k ^ 2 X_m$ est tiré à partir d'un distribution chi-carré non centrale.
La distribution du chi carré $X \ sim \ chi ^ 2_ \ nu$ est un cas particulier de la la distribution gamma, en ce que $X \ sim \ {gamma} textrm (\ frac {\ nu} {2}, 2)$ .
$Y \ sim \ mathrm {F} (\ nu_1, \ nu_2)$ est un F-distribution si $Y = \ frac {X_1 / \ nu_1} {X_2 / \ nu_2}$ où $X_1 \ sim \ chi _ {\ nu_1} ^ 2$ et $X_2 \ sim \ chi _ {\ nu_2} ^ 2$ sont indépendants avec leurs degrés respectifs de liberté.
$Y \ sim \ chi ^ 2 (\ bar {\ nu})$ est une distribution de chi-carré si $Y = \ {sum_ m = 1} ^ N X_m$ où $X_m \ sim \ chi ^ 2 (\ nu_m)$ sont indépendants et $\ Bar {\ nu} = \ {sum_ m = 1} ^ N \ nu_m$ .
si $X$ est chi carré distribué, $\ Sqrt {X}$ est chi distribué.
en particulier, si $X \ sim \ chi_2 ^ 2$ (Chi-carré avec deux degrés de liberté), puis $\ Sqrt {X}$ est Rayleigh distribué.
si $X_1, \ dots, X_n$ sont iid $N (\ mu, \ sigma ^ 2)$ variables aléatoires , puis $\ Sum_ {i = 1} ^ n (X_i - \ bar X) ^ 2 \ sim \ sigma ^ 2 \ chi ^ 2_ {n-1}$ où $\ Bar X = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n X_i$ .
si $X \ sim \ mathrm {} SkewLogistic (\ frac {1} {2}) \,$ , Puis $\ Mathrm {} journal (1 + e ^ {- X}) \ sim \ chi_2 ^ 2 \,$

**Divers chi et distributions du chi carré**
Nom	Statistique
la distribution chi-carré	$\ Sum_ {i = 1} ^ k \ frac {\ left (X_i- \ mu_i \ right) ^ 2} {\ sigma_i ^ 2}$
chi carré non centrale de distribution	$\ Sum_ {i = 1} ^ k \ left (\ frac {} {X_i \ sigma_i} \ right) ^ 2$
la distribution chi	$\ Sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ k \ left (\ frac {X_i- \ mu_i} {\ sigma_i} \ right) ^ 2}$
distribution chi non centrale	$\ Sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ k \ left (\ frac {} {X_i \ sigma_i} \ right) ^ 2}$

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