Croissance exponentielle

En mathématiques , la croissance exponentielle (ou la croissance géométrique) se produit lorsque le taux d'une fonction de croissance est toujours proportionnelle à la taille actuelle de la fonction. Cette croissance est dit de suivre une loi exponentielle; le modèle de croissance exponentielle simple est connu comme le Modèle de croissance malthusienne. Pour toute quantité en croissance exponentielle, plus la quantité obtient, plus il grandit. Un dicton alternative est «Le taux de croissance est proportionnelle à l'état de la croissance». La relation entre la taille de la variable dépendante et son taux de croissance est régi par une loi stricte de la forme la plus simple: proportion directe. Il est démontré dans le calcul que cette loi exige que la quantité est donnée par la fonction exponentielle , si nous utilisons l'échelle de temps correct. Ce qui explique le nom.

Formule de base

Si y connaît une croissance exponentielle en fonction de x (x étant souvent pensée comme le temps), puis

où a est la valeur initiale de Y, à savoir une est ce que lorsque y est égal à x = 0 et b est proportionnelle à la vitesse de croissance initiale.

Exemple: Si une espèce de bactéries double tous les dix minutes, à partir avec seulement une bactérie, combien de bactéries seraient présentes après une heure?

Après six intervalles (6) 10 minutes, il y aurait 64 bactéries.

Cela fonctionne également avec décroissance exponentielle. Dans ce cas, b est inférieur à 1:

Intuition

La croissance exponentielle de la phrase est souvent utilisé dans des contextes non techniques pour signifier seulement la croissance étonnamment rapide. Dans un sens strictement mathématique, cependant, la croissance exponentielle a un sens précis et ne signifie pas nécessairement que la croissance va se produire rapidement. En fait, une population peut croître de façon exponentielle mais à un rythme très lent absolue (comme lorsque l'argent dans un compte bancaire gagne un taux d'intérêt très bas, par exemple), et peut pousser étonnamment rapide sans croissance exponentielle. Et certaines fonctions, telles que la fonction logistique, la croissance exponentielle approximative sur une partie seulement de leur gamme. La section "détails techniques" ci-dessous explique exactement ce qui est nécessaire pour une fonction d'exposer une véritable croissance exponentielle.

Mais le principe général de la croissance exponentielle est que plus un certain nombre devient, plus vite il se développe. Toute nombre croissant de façon exponentielle finira par se développer plus grand que tout autre nombre qui croît à un taux constant que pour la même quantité de temps (et vont aussi se développer plus grand que toute fonction qui ne pousse que subexponentially). Cela est démontré par l'énigme classique dans lequel un enfant est offert deux choix pour une allocation hebdomadaire de plus en plus: la première option commence à 1 cent et double chaque semaine, tandis que la seconde option commence à 1 $ et augmente de 1 $ par semaine. Bien que la deuxième option, croît à un taux constant de 1 $ / semaine, paie plus dans le court terme, la première option finalement pousse beaucoup plus grande:

Le graphique montre comment une croissance exponentielle dépasse deux croissances linéaires et cubiques

Nous pouvons décrire ces cas mathématiquement. Dans le premier cas, l'allocation à la semaine n est 2 ⁿ cents; Ainsi, à la semaine 15, le paiement est 2 ¹⁵ = 32768 ¢ = $ 327,68. Toutes les formules de la forme k ^n, où k est un nombre immuable supérieur à 1 (par exemple, 2), et n est la quantité de temps écoulé, croître de façon exponentielle. Dans le second cas, le paiement à la semaine n est tout simplement n + 1 dollars. Le paiement se développe à une vitesse constante de 1 $ par semaine.

Cette image montre un exemple un peu plus compliqué d'une fonction exponentielle dépassements fonctions sous-exponentielles:

La ligne rouge représente 50 x, similaire à l'option 2 dans l'exemple ci-dessus, sauf en hausse de 50 par semaine au lieu de 1. Sa valeur est plus grand que x se déplace 7. La ligne bleue représente le polynôme x ^3. Polynômes poussent subexponentially, puisque l'exposant (trois dans ce cas) reste constante alors que la base (x) des changements. Cette fonction est plus grande que les deux autres lorsque x est compris entre environ 7 et 9. Ensuite, la fonction exponentielle ^x 2 (en vert) prend le relais et devient plus grande que les deux autres fonctions pour tout x supérieur à environ 10.

Tout ce qui pousse par le même pourcentage chaque année (ou chaque mois, jour, heure, etc.) est en croissance exponentielle. Par exemple, si le nombre moyen de descendants de chaque individu (ou un couple) dans une population reste constante, le taux de croissance est proportionnel au nombre d'individus. Une telle croissance démographique exponentielle croît trois fois plus vite quand il ya six millions de personnes comme il le fait quand il ya deux millions. Les comptes bancaires avec à taux fixe intérêt composé croître de façon exponentielle condition qu'il n'y ait pas de dépôts, retraits ou les frais de service. Mathématiquement, le solde du compte bancaire d'un compte commençant par S dollars, gagner un r annuelle de taux d'intérêt et laissé intact pour n années peut être calculée comme . Donc, dans un compte à partir de 1 $ et gagner 5% par an, le compte aura après 1 an, après 10 ans, et $ 131,50 après 100 ans. Depuis le solde de départ et le taux ne changent pas, la quantité peut fonctionner comme la valeur k dans la formule k ⁿ donné plus tôt.

Détails techniques

Soit x une quantité croissante de façon exponentielle par rapport au temps t. Par définition, le taux de variation dx / dt obéit à l' équation différentielle :

où k ≠ 0 est la constante de proportionnalité (par rapport au nombre moyen de descendants par individu dans le cas de la population). (Voir fonction logistique pour une simple correction de ce modèle de croissance où k ne est pas constante). La solution de cette équation est la fonction exponentielle - D'où le nom de croissance exponentielle («e» étant un constante mathématique). La constante est la taille initiale de la population.

À long terme, la croissance exponentielle de toute nature va dépasser la croissance linéaire de toute nature (la base de la Catastrophe malthusienne) ainsi que tout polynôme la croissance, ce est à dire, pour tout α:

Il ya toute une hiérarchie des taux de croissance envisageables qui sont plus lents que exponentielle et plus rapide que linéaire (à long terme). Les taux de croissance peuvent également être plus rapide que exponentielle. Les modèles linéaires et exponentielles ne sont pas seulement les candidats simples mais sont celles de plus grande présence dans la nature.

Dans l'équation différentielle ci-dessus, si k <0, alors les expériences de quantité décroissance exponentielle.

Les quantités de caractéristiques de croissance exponentielle

La loi de la croissance exponentielle peut être écrit dans des formes différentes, mais mathématiquement équivalentes, en utilisant un autre socle . Les formes les plus communes sont les suivantes:

où, comme dans l'exemple précédent x ₀ exprime la quantité initiale (ce est à dire x (t) à t = 0).

La quantité k est appelé la constante de croissance; la quantité r est appelé le taux de croissance (pour cent d'augmentation par unité de temps); est le e temps de pliage; et T est la temps de doublement. Indiquant un de ces quatre quantités équivalentes permet de calculer automatiquement les trois autres, qui sont reliés par l'équation suivante (qui peut être calculé en prenant le logarithme naturel de la ci-dessus):

Une méthode populaire approchée de calcul du temps de doublement de la vitesse de croissance est la règle de 70, c.-à- (Ou mieux: ).

Limitations de modèles exponentiels

Un point important à propos de la croissance exponentielle est que, même quand il semble lent sur le court terme, il devient impressionnante rapide sur le long terme, avec la quantité initiale doubler au temps de doublement, puis doubler encore et encore. Par exemple, un taux de croissance de population de 2% par année peut sembler petit, mais il implique effectivement doubler après 35 ans, de doubler à nouveau après encore 35 ans (ce est à dire devenir 4 fois la population initiale). Ceci implique que tant la quantité observée, et son dérivé de temps vont devenir de plusieurs ordres de grandeur plus grand que ce qui était initialement entend par la personne qui a conçu le modèle de croissance. Pour cette raison, certains effets pas initialement pris en compte seront fausser la loi de croissance, généralement modérer comme par exemple dans la loi logistique. La croissance exponentielle d'une quantité mise dans le monde réel (c.-à-pas dans le monde abstrait des mathématiques) est un modèle valable pour une période temporaire seulement.

Pour cette raison, certaines personnes (voir par exemple Halte à la croissance) contestent le modèle de croissance exponentielle sur le terrain qu'il est valide pour le court terme seulement, ce est à dire rien ne peut croître indéfiniment. Par exemple, une population dans un environnement fermé ne peut pas continuer à croître si elle mange toute la nourriture et les ressources disponibles; l'industrie ne peut pas continuer à pomper carbone de la clandestinité dans l'atmosphère au-delà des limites liées à des réservoirs de pétrole et les conséquences de changement climatique . Les problèmes de ce type existent pour chaque représentation mathématique du monde réel, mais sont spécialement sentir pendant la croissance exponentielle, puisque cette croissance modèle accélère comme variables augmentent dans un rétroaction positive, à un point où le temps de réponse humaine à inconvénient peut être insuffisante. Sur ces points, vous pouvez aussi les histoires exponentielles ci-dessous.

Des exemples de croissance exponentielle

• Biology .
  • Les micro-organismes dans un boîte de culture augmentera de manière exponentielle, au début, après le premier micro-organisme semble (mais alors logistique jusqu'à la nourriture disponible est épuisé, lorsque la croissance se arrête).
  • Un virus ( SRAS, Du Nil occidental, la variole ) de l'infectiosité suffisante (k> 0) se propage de façon exponentielle au premier abord, si aucune artificielle immunisation est disponible. Chaque personne infectée peut infecter plusieurs nouvelles personnes.
  • La population humaine , si le nombre de naissances et de décès par personne et par an devait rester aux niveaux actuels (mais aussi voir la croissance logistique).
  • Beaucoup de réponses des êtres vivants à stimuli, y compris l'homme perception, sont logarithmiques réponses, qui sont l'inverse de réponses exponentielles; la intensité et fréquence de son sont perçus logarithmique, même avec très faible stimulus, dans les limites de la perception. Ce est la raison pour laquelle la croissance exponentielle luminosité de stimuli visuels est perçu par l'être humain comme une augmentation linéaire, plutôt que d'une augmentation exponentielle. Ceci a valeur de survie. En général, il est important que les organismes à répondre à des stimuli dans une large gamme de niveaux, de très faibles niveaux, à des niveaux très élevés, tandis que le la précision de la estimation des différences aux niveaux élevés de relance est beaucoup moins important pour la survie.
• La technologie informatique
  • La puissance de traitement des ordinateurs. Voir aussi la loi de Moore et singularité technologique (sous croissance exponentielle, il n'y a pas de singularités. La singularité est ici une métaphore.).
  • En théorie de la complexité de calcul, des algorithmes informatiques de complexité exponentielle nécessite une quantité exponentiellement croissante des ressources (temps, mémoire de l'ordinateur) pour seulement une augmentation constante de la taille du problème. Donc, pour un algorithme de complexité de temps 2 ^ x, si un problème de taille x = 10 nécessite 10 secondes pour terminer, et un problème de taille x = 11 nécessite 20 secondes, puis un problème de taille x = 12, il faudra 40 secondes. Ce type d'algorithme devient généralement inutilisable à très petites tailles de problèmes, souvent entre 30 et 100 éléments (la plupart des algorithmes informatiques doivent être en mesure de résoudre des problèmes beaucoup plus, jusqu'à des dizaines de milliers, voire des millions d'articles dans des délais raisonnables, quelque chose qui serait être physiquement impossible avec un algorithme exponentielle). En outre, les effets de la loi de Moore ne aident pas la situation beaucoup parce que doubler la vitesse du processeur permet simplement d'augmenter la taille du problème par une constante. Par exemple, si un processeur lent peut résoudre les problèmes de taille x au temps t, puis un processeur deux fois plus rapide ne pouvait résoudre les problèmes de taille x + constants dans le même temps t. Donc exponentielle des algorithmes complexes sont le plus souvent peu pratique, et la recherche d'algorithmes plus efficaces est l'un des objectifs centraux de la science informatique.
  • la croissance du trafic Internet .
• Investissement. L'effet de l'intérêt composé sur de nombreuses années a un effet considérable sur l'épargne et la capacité d'une personne à la retraite. Voir également règle de 72
• Physique
  • Dans un claquage par avalanche matériau diélectrique. Un libre électrons devient suffisamment accéléré par un appliqué de l'extérieur champ électrique qu'il libère des électrons supplémentaires qu'il entre en collision avec des atomes ou des molécules de la constante diélectrique. Ces électrons secondaires sont également accélérées, la création d'un plus grand nombre d'électrons libres. La croissance exponentielle résultant des électrons et des ions peut rapidement conduire à compléter la rupture diélectrique du matériau.
  • Réaction nucléaire en chaîne (le concept derrière armes nucléaires ). Chaque uranium noyau qui subit une fission produit de multiples neutrons , dont chacun peut être absorbé par des atomes adjacents de l'uranium, les obligeant à fission à son tour. Si la probabilité d'absorption des neutrons supérieure à la probabilité de fuite de neutrons (une fonction de la forme et masse de l'uranium), k> 0 et donc le taux de neutrons de production et de fissions d'uranium induits augmente de façon exponentielle, dans une réaction incontrôlée.

• Vente multiniveau

Augmentations exponentielles sont promis à apparaître dans chaque nouveau niveau de l'aval d'un élément de départ que chaque membre ultérieure recrute plus de gens.

Histoires exponentielles

Les caractéristiques surprenantes de croissance exponentielle ont fasciné les gens à travers les âges.

Riz sur un échiquier

Un courtisan présenté le roi de Perse avec une belle, fait-main échiquier. Le roi a demandé ce qu'il aimerait en échange de son don et le courtisan du roi surpris en demandant un grain de riz sur le premier carré, deux grains sur la deuxième, quatre grains sur le troisième, etc. Le roi volontiers accepté et demandé le riz à apporter. Tout allait bien au début, mais l'exigence de grains sur la e carré exigé plus d'un million de grains sur la 21e place, plus d'un quadrillion sur le 41e et il n'y avait tout simplement pas assez de riz dans le monde entier pour les places finales. (De Meadows et al. 1972, p.29 via Porritt 2005)

Pour voir variation de cette Seconde moitié de l'échiquier en référence au point où un facteur croissance exponentielle commence à avoir un impact économique significatif sur la stratégie commerciale globale d'une organisation.

Le nénuphar

Enfants français sont raconté une histoire dans laquelle ils se imaginent avoir un étang avec nénuphar feuilles flottant à la surface. La population lys double de taille tous les jours et si rien ne étouffera l'étang dans 30 jours, tuant tous les autres êtres vivants dans l'eau. Jour après jour, la plante semble petit et si il est décidé de laisser croître jusqu'à ce qu'elle couvre la moitié de l'étang, avant de le couper en arrière. Ils sont ensuite invités, sur ce jour qui se produira. Ceci est révélé être le 29e jour, puis il y aura une seule journée pour sauver l'étang. (De Meadows et al. 1972, p.29 via Porritt 2005)