Analyse mathématique

L'analyse mathématique, que les mathématiciens se réfèrent simplement que l'analyse, a ses débuts dans la formulation rigoureuse de calcul infinitésimal. Ce est une branche de mathématiques pures qui comprend les théories de la différenciation , l'intégration et mesure, les limites, série infinie, et fonctions analytiques. Ces théories sont souvent étudiées dans le contexte des nombres réels , des nombres complexes et réels et complexes fonctions . Cependant, ils peuvent également être définis et étudiés dans toute l'espace des objets mathématiques qui a une définition de proximité (un espace topologique) ou, plus précisément, la distance (a espace métrique).

Histoire

Les premiers résultats de l'analyse étaient implicitement présente dans les premiers jours d'anciens mathématiques grecques. Par exemple, une somme géométrique infinie est implicite dans Zénon paradoxe de la dichotomie. Plus tard, Mathématiciens grecs tels que Eudoxe et Archimède rendus plus explicites, mais informelle, l'utilisation des concepts de limites et la convergence quand ils ont utilisé la méthode de l'épuisement pour calculer la surface et le volume des régions et des solides. En Inde , le 12 mathématicien siècle Bhāskara II a donné des exemples de la dérivé et utilisé ce qui est maintenant connu sous le nom Théorème de Rolle.

Au 14ème siècle, Madhava de Sangamagrama développé développements en série, comme l'infinite série de puissance et la série de Taylor , de fonctions telles que sinus , cosinus , tangente et arctangente. Parallèlement à son développement de la série de Taylor des fonctions trigonométriques , il a également estimé l'ampleur des termes d'erreur créés en tronquant ces séries et a donné une approximation rationnelle d'une série infinie. Ses disciples à la École du Kerala encore élargi ses œuvres, jusqu'à la 16ème siècle.

En Europe, au cours de la deuxième moitié du 17ème siècle, Newton et Leibniz développés indépendamment calcul infinitésimal, qui a grandi, avec le stimulus de travail appliquée qui se est poursuivie à travers le 18ème siècle, en sujets d'analyse comme le calcul des variations , ordinaires et équations aux dérivées partielles , l'analyse de Fourier, et fonctions génératrices. Pendant cette période, les techniques de calcul ont été appliqués à rapprocher problèmes discrets par ceux continues.

Au 18ème siècle, Euler introduit la notion de fonction mathématique . Analyse réelle a commencé à émerger comme un sujet indépendant lorsqu'il Bernard Bolzano introduit la définition moderne de la continuité en 1816. mais le travail de Bolzano ne est pas devenu largement connu avant les années 1870. En 1821, Cauchy a commencé à mettre le calcul sur un fondement logique cabinet en rejetant le principe de la généralité de l'algèbre largement utilisé dans les travaux antérieurs, en particulier par Euler. Au lieu de cela, le calcul Cauchy formulé en termes d'idées et géométriques infinitésimaux. Ainsi, sa définition de la continuité nécessaire un changement infime dans x pour correspondre à un changement infinitésimal en y. Il a également introduit le concept de la Cauchy, et a commencé à la théorie formelle de analyse complexe. Poisson, Liouville, Fourier et d'autres ont étudié des équations aux dérivées partielles et analyse harmonique. Les contributions de ces mathématiciens et d'autres, comme Weierstrass, a développé l'approche epsilontic, fondant ainsi le champ de l'analyse mathématique moderne.

Dans le milieu du siècle Riemann introduit sa théorie de l'intégration . Le dernier tiers du 19ème siècle a vu l'arithmétisation d'analyse par Weierstrass, qui pensait que le raisonnement géométrique était intrinsèquement trompeuses, et a introduit le Définition de «epsilon-delta" de limite . Ensuite, les mathématiciens commencé à se inquiéter qu'ils prenaient l'existence d'un continuum de nombres réels sans preuve. Dedekind ensuite construit les nombres réels par Coupures de Dedekind, dans lequel les nombres irrationnels sont formellement définis, qui servent à combler les «écarts» entre les nombres rationnels, créant ainsi un ensemble complet: le continuum des nombres réels. Autour de ce temps, les tentatives de cerner les théorèmes de L'intégration de Riemann conduit à l'étude de la «taille» de l'ensemble des discontinuités de fonctions réelles.

En outre, " monstres "( nulle part les fonctions continues, mais continue fonctions nulle part différentiables, les courbes de remplissage d'espace) a commencé à être créé. Dans ce contexte, La Jordanie a élaboré sa théorie de mesure, Cantor a développé ce qu'on appelle aujourd'hui la théorie naïve des ensembles, et Baire prouvé la Théorème de Baire. Dans le début du 20e siècle, le calcul a été officialisée en utilisant une axiomatique la théorie des ensembles . Lebesgue a résolu le problème de la mesure, et Hilbert introduit Espaces de Hilbert à résoudre équations intégrales. L'idée de espace vectoriel normé était dans l'air, et dans les années 1920 Banach créé analyse fonctionnelle.

Subdivisions

L'analyse mathématique comprend les sous-champs suivants.

• équations différentielles
• Analyse réelle, le étude rigoureuse de dérivés et intégrales de fonctions de variables réelles. Cela comprend l'étude des séquences et leur limites, série.
  • Fonction de plusieurs variables
  • Analyse réelle des échelles de temps - une unification de l'analyse réel calcul des différences finies
• Théorie de la mesure - donné un ensemble, l'étude de la façon d'attribuer à chaque sous-ensemble approprié un certain nombre, intuitivement interprété comme la taille du sous-ensemble.
• Calcul vectoriel
• Analyse fonctionnelle étudie espaces de fonctions et introduit des concepts tels que Espaces de Banach et Espaces de Hilbert.
• Calcul des variations traite extremizing fonctionnelles, par opposition à ordinaire calcul qui traite des fonctions .
• Analyse harmonique traite séries de Fourier et leurs abstractions.
• Analyse géométrique implique l'utilisation de méthodes géométriques dans l'étude des équations aux dérivées partielles et l'application de la théorie des équations aux dérivées partielles à la géométrie.
• Analyse complexe, l'étude des fonctions du plan complexe pour lui-même, qui sont différentiables complexe (ce est- holomorphe).
  • Plusieurs variables complexes
• Analyse ou hypercomplexe Analyse Clifford
• p-adique analyse, l'étude de l'analyse dans le contexte de p numéros -adiques, qui diffère à certains égards intéressants et surprenants de ses homologues réels et complexes.
• Analyse non standard, qui enquête sur la numéros hyperréels et leurs fonctions et donne une de traitement rigoureux infinitésimaux et infiniment grand nombre. Il est normalement classé comme théorie des modèles.
• Analyse numérique, l'étude des algorithmes pour rapprocher les problèmes de mathématiques continues.
• Analyse calculable, dont l'étude de l'analyse des parties peuvent être réalisées dans un manière calculable.
• Calcul stochastique - notions analytiques développées pour processus stochastiques.
• Analyse Set-évalué - applique les idées de l'analyse et de la topologie des fonctions de mettre en valeur.
• Analyse Tropical (ou analyse idempotent) - analyse dans le contexte de la semiring du algèbre max-plus, où l'absence d'un inverse additif est quelque peu compensée par la règle de idempotent A + A = A. Lorsque transféré au décor tropical, de nombreux problèmes non linéaires deviennent linéaire.

Analyse classique devrait normalement être comprise comme tout travail non en utilisant des techniques d'analyse fonctionnelle, et est parfois aussi appelé analyse rigoureuse; il se réfère aussi naturellement aux sujets plus traditionnels. L'étude des équations différentielles est maintenant partagé avec d'autres domaines tels que systèmes dynamiques, si le chevauchement avec l'analyse conventionnelle est grande.

Analyse dans d'autres domaines:

• Théorie analytique des nombres
• Combinatoire analytique
• Probabilité continue
• Entropie différentielle en théorie de l'information
• jeux différentielles
• Géométrie différentielle , l'application du calcul aux espaces mathématiques spécifiques appelés collecteurs qui possèdent une structure interne complexe, mais se comportent d'une manière simple localement.
• Topologie différentielle

Espaces topologiques, espaces métriques

La motivation pour l'étude de l'analyse mathématique dans le contexte plus large de topologique ou espaces métriques est triple:

1. Les mêmes techniques de base ont prouvé applicables à une catégorie plus large de problèmes (par exemple, l'étude de espaces fonctionnels).
2. Une meilleure compréhension de l'analyse dans des espaces plus abstraites se avère souvent être directement applicable à des problèmes classiques. Par exemple, dans l'analyse de Fourier, fonctions sont exprimées en termes d'un certain somme infinie de fonctions trigonométriques . Ainsi, l'analyse de Fourier peut être utilisée pour décomposer un son dans une combinaison unique de tonalités pures de divers emplacements. Les «poids», ou coefficients, des termes dans le développement de Fourier d'une fonction peuvent être considérés comme des composantes d'un vecteur dans un infini espace tridimensionnel connu comme un Espace de Hilbert. Étude des fonctions définies dans ce cadre plus général fournit ainsi une méthode pratique de dériver les résultats sur la façon dont les fonctions varient dans l'espace ainsi que le temps ou, en termes plus mathématiques, équations aux dérivées partielles , où cette technique est connue sous le nom séparation des variables.
3. Les conditions nécessaires pour prouver le résultat particulier sont plus explicitement mention. L'analyste devient alors plus conscients exactement ce est nécessaire aspect de l'hypothèse de prouver le théorème.

Calcul des différences finies, calcul discrète ou analyse discrète

Comme la section ci-dessus sur les espaces topologiques précise, l'analyse ne est pas seulement à propos de la continuité dans le sens traditionnel de nombres réels. L'analyse est fondamentalement sur les fonctions, les espaces que les fonctions et agissent sur la espaces de fonctions que les fonctions elles-mêmes membres de. Un discret fonction f (n) est généralement appelé une séquence a (n). Une séquence peut être une séquence finie d'une source de données ou une séquence infinie à partir d'un système dynamique discret. Une fonction discrète peut être définie explicitement par une liste, ou par une formule de f (n) ou il peut être donné par un implicitement relation de récurrence ou équation de différence. Une équation de différence est l'équivalent discret d'une équation différentielle et peut être utilisée pour calculer la seconde ou étudiés à part entière. Chaque question et de méthode sur les équations différentielles a un équivalent discret pour des équations aux différences. Par exemple, où il ya transformées intégrales dans analyse harmonique pour studing fonctions continues ou des signaux analogiques, il ya transformées discrètes pour fonctions discrètes ou des signaux numériques. Aussi bien que métrique discret il ya plus générale discret ou espaces métriques finis et espaces topologiques finis.

pages Web

• Premières utilisations connues de certains des mots de mathématiques: calcul et analyse
• Analyse de base: Introduction à l'analyse réel par Jiri Lebl ( Creative Commons BY-NC-SA )