Décimal

Le décimal (base dix ou occasionnellement denier) système numérique a comme dix base. Ce est le système numérique le plus largement utilisé, peut-être parce que les humains ont quatre les doigts et le pouce de chaque main, ce qui donne un total de dix chiffres plus de deux mains.

Notation décimale

Notation décimale est l'écriture de nombres dans la base de dix- système numérique , qui utilise différents symboles (appelés chiffres ) pour pas plus de dix valeurs distinctes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 ) pour représenter des chiffres, peu importe la taille. Ces chiffres sont souvent utilisés avec un séparateur décimal qui indique le début d'une partie fractionnaire, et l'un des symboles + (positive) ou de signe - (négatifs) en face des chiffres pour indiquer signe. Il n'y a que deux systèmes de décimales vraiment de position dans la civilisation antique, le Chinoise système de tiges de comptage et le système numérique hindou-arabe, les deux ne ont pas nécessité plus de dix symboles. Autres systèmes numériques nécessitent plus ou moins de symboles.

Le est un système décimal Système numérique de position; il a des positions pour des unités, dizaines, centaines, etc. La position de chaque chiffre transmet le multiplicateur (une puissance de dix) pour être utilisé avec ce chiffre-chaque position a une valeur dix fois supérieure à celle de la position à sa droite.

Dix est le nombre qui est le nombre de doigts et les pouces sur les deux mains (ou les orteils sur les pieds). Dans de nombreuses langues, le mot chiffres ou sa traduction est aussi le terme anatomique faisant référence à doigts et les orteils. En anglais, décimal (decimus < Lat. ) signifie dixième, décimer des moyens de réduire d'un dixième, et denier (denier <lat.) désigne la Unité de dix. Les symboles pour les chiffres d'usage courant dans le monde aujourd'hui sont appelés Chiffres arabes par les Européens et Chiffres indiens par les Arabes, les termes des deux groupes à la fois référence à la culture à partir de laquelle ils ont appris le système. Cependant, les symboles utilisés dans différentes zones ne sont pas identiques; par exemple, les chiffres arabes occidentaux (à partir de laquelle les chiffres européens sont dérivés) diffèrent des formes utilisées par d'autres cultures arabes.

Notations alternatifs

Certaines cultures ne, ou utilisés pour, utiliser d'autres systèmes de numération, y compris précolombienne Cultures méso-américaines comme le Maya, qui utilisent un système vigésimal (en utilisant tous les vingt doigts et orteils), certains Nigérians qui utilisent plusieurs duodecimal (base 12) systèmes, les Babyloniens , qui a utilisé sexagésimal (base 60), et de la Yuki, qui aurait utilisé octal (base 8).

Informatique matériel et des systèmes logiciels utilisent couramment une représentation binaire , en interne. Pour usage externe par des spécialistes informatiques, cette représentation binaire est parfois présentée dans le connexes octaux ou hexadécimaux systèmes. Pour la plupart des applications, cependant, les valeurs binaires sont converties en valeurs décimales équivalentes pour la présentation et la manipulation par l'homme.

Les deux ordinateurs et de logiciels utilisent également des représentations internes qui sont effectivement décimales pour stocker des valeurs décimales et faire de l'arithmétique. Souvent cette arithmétique est effectué sur les données qui sont codées à l'aide codé en binaire décimal, mais il ya d'autres représentations décimales en usage (voir IEEE 754r), en particulier dans les implémentations de bases de données. Arithmétique décimale est utilisé dans les ordinateurs afin que les résultats des fractions décimales peuvent être calculées exactement, qui ne est pas possible en utilisant une représentation binaire fractionnée. Ce est souvent important pour les calculs financiers et d'autres .

Les fractions décimales

Une fraction décimale est une fraction où le dénominateur est une puissance de dix.

Les fractions décimales sont généralement exprimées sans dénominateur, le séparateur décimal étant insérée dans le numérateur (avec zéros de tête ajoutés si nécessaire), à la position de la droite correspondant à la puissance dix du dénominateur. par exemple, 8/10, 833/100, 83/1000, et 8/10000 sont exprimés en:. 0 8, 8 33, 0 083 et 0 0008.... Dans les pays anglophones, un point (·) ou la période est utilisé comme séparateur décimal (.); dans la plupart des autres langues une virgule est utilisée.

La partie entière ou une partie intégrante d'un nombre décimal est la partie à gauche du séparateur décimal (voir aussi fonction de-chaussée). La partie du séparateur décimal vers la droite est la partie fractionnaire; si considéré comme un numéro distinct, un zéro est souvent écrit en face. Surtout pour les nombres négatifs, nous devons faire la distinction entre la partie fractionnaire de la notation et la partie fractionnaire du nombre lui-même, parce que ce dernier obtient son propre signe moins. Il est habituel pour un nombre décimal qui est inférieure à une partie pour avoir un zéro.

Zéros après la virgule ne sont pas nécessaires, bien que dans la science, l'ingénierie et les statistiques , ils peuvent être conservés pour indiquer une précision requise ou pour montrer un niveau de confiance dans l'exactitude du nombre:.. Alors que 0 080 et 0 08 sont numériquement égal, dans l'ingénierie 0. 080 suggère une mesure avec une erreur maximale de 1 partie en deux mille (± 0. 0005), tandis que 0. 08 suggère une mesure avec une erreur maximale de 1 à deux cent (voir Chiffres significatifs).

D'autres nombres rationnels

Tout nombre rationnel qui ne peut être exprimé sous forme de fraction décimale a une infinie développement décimal unique, se terminant par décimales récurrentes.

Dix est le produit des premier et troisième nombres premiers , est plus grand que le carré de la deuxième nombre premier, et est un de moins que le cinquième nombre premier. Cela conduit à beaucoup de simples fractions décimales:

02/01 = 0,5

1/3 = 0,333333 ... (avec 3 répéter)

1/4 = 0,25

05/01 = 0,2

1/6 = 0,166666 ... (avec 6 répéter)

1/8 = 0,125

1/9 = 0,111111 ... (avec une répétition)

10/01 = 0,1

11/01 = 0,090909 ... (avec répétition 09)

1/12 = 0,083333 ... (avec 3 répéter)

1/81 = ,012345679012 ... (avec 012.345.679 répéter)

Autres facteurs premiers dans le dénominateur donneront plus récurrents séquences , voir par exemple 7, 13.

Qu'un nombre rationnel doit avoir un développement décimal fini ou périodique, peut être considérée comme une conséquence de la division longue algorithme , en ce qu 'il n'y a que q-1 non nul possible restes de division par q, de sorte que le motif récurrent auront une période inférieure à q. Par exemple, pour trouver des 3/7 par une longue division:

    0,4 2 8 5 7 1 4 ...
  7) 3,0 0 0 0 0 0 0 0 
     2 8 30/7 = 4 r 2
        2 0
       1 4 20/7 = 2 r 6
          6 0
         5 6 8 60/7 = r 4
            4 0
           3 5 = 40/7 5 5 r
              5 0
             4 9 7 r = 50/7 1
                1 0
               7 7/10 1 = r 3
                  3 0
                 2 8 30/7 = 4 r 2 (nouveau)
                    2 0
                         etc

L'inverse de cette observation est que chaque récurrente décimale représente un nombre rationnel p / q. Ceci est une conséquence du fait la partie récurrente d'une représentation décimale est, en fait, un infini série géométrique qui résumer à un nombre rationnel. Par exemple,

Nombres réels

Chaque nombre réel a une (éventuellement infini) représentation décimale, ce est à dire, il peut être écrit comme

où

• sign () est la fonction signe,
• a _i ∈ {0,1, ..., 9} pour tout i ∈ Z, sont les chiffres décimaux, égal à zéro pour tout i supérieur à un certain nombre (ce nombre étant le logarithme décimal de | x |).

Une telle somme converge i diminue, même se il ya une infinité de non nulle d'un _i.

Nombres rationnels (par exemple p / q) avec facteurs premiers dans le dénominateur autre que 2 et 5 (lorsque réduit à termes les plus simples) ont un unique, représentation décimale récurrente.

Considérez ces nombres rationnels qui ne ont que les facteurs 2 et 5 dans le dénominateur, ce est à dire qui peut être écrit comme p / (2 ^{à 5 b).} Dans ce cas, il est une représentation décimale de terminaison. Par exemple 1/1 = 1, 1/2 = 0,5, 3/5 = 0,6, 3/25 = 0,12 et 1306/1250 = 1,0448. Ces numéros sont les seuls nombres réels qui ne ont pas une représentation décimale unique, comme ils peuvent aussi être écrites comme une représentation qui a une récurrente 9, par exemple 1 = 0,99999 ..., 1/2 = 0,499999 ..., etc.

Cela laisse les nombres irrationnels . Ils ont également unique représentation décimale infinie, et peuvent être caractérisés comme les numéros dont les représentations décimale ni fin, ni se reproduire.

Donc, en général la représentation décimale est unique, si l'on exclut les représentations qui se terminent par un 9 récurrents.

Naturellement, le même trichotomie est valable pour une autre base-n systèmes de numération de position:

• La représentation de terminaison: où rationnelle le dénominateur divise un certain n ^k
• Représentation récurrente: autre rationnelle
• Non-terminaison, la représentation non récurrent: irrationnelle

et une version de cette vaut même pour les systèmes de numération irrationnelle-base, tels que représentation de base moyen d'or.

Histoire

Suit une liste chronologique des écrivains décimales enregistrées.

Écrivains décimales

• . c 3500 - 2500 BC Elamites de l'Iran éventuellement utilisé des formes précoces de système décimal.
• . c 2900 BC égyptiens hiéroglyphes montrent compter en puissances de 10 (+ 1 million 400 000 chèvres, etc.) - voir Ifrah, ci-dessous
• . c 2600 BC Civilisation de la vallée de l'Indus , première utilisation physique connu des décimales fractions dans le système de poids ancienne: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2. Voir poids et mesures ancienne vallée de l'Indus
• . c 1400 BC chinoise écrivains montrent familiarité avec le concept: par exemple, 547 est écrit «Cinq cents plus quatre décennies, plus de sept jours» dans certains manuscrits
• . c 1200 BC Dans l'Inde ancienne , le Texte védique Yajurveda énonce les pouvoirs de 10, jusqu'à 10 ⁵⁵
• c. 400 BC Pingala - développe le système de nombre binaire pour le sanskrit prosodie, avec une cartographie claire au système décimal en base 10
• c. 250 BC Archimède rédige le Sable Reckoner, qui prend décimal calcul jusqu'à 10 ^{80,000,000,000,000,000}
• . c 100-200 Le Satkhandagama écrit en Inde - première utilisation des logarithmes décimaux
• c. 476-550 Aryabhata - utilise un système de chiffrement alphabétique pour les numéros utilisés zéro
• c. 598-670 Brahmagupta - explique le Chiffres indo-arabes (système numérique moderne) qui utilise décimales des nombres entiers , entiers négatifs et zéro
• . c 780-850 Muhammad ibn Musa al-Ḵwārizmī - premier à exposer sur algorism en dehors de l'Inde
• c. 920-980 Abu'l Hasan Ahmad ibn Ibrahim Al-Uqlidisi - premier traitement mathématique directe connue des fractions décimales.
• c. 1300-1500 Le Ecole Kerala en Inde du Sud - décimal nombres à virgule flottante
• 1548 / 49-1620 Simon Stevin - auteur de De thiende (la dixième)
• 1561-1613 Bartholemaeus Pitiscus - (éventuellement) la notation décimale.
• 1550-1617 John Napier - utilisation de logarithme décimal comme un outil de calcul
• 1765 Johann Heinrich Lambert - discute (avec quelques si des preuves) modèles dans expansions décimales de nombres rationnels et note une connexion avec le petit théorème de Fermat dans le cas de dénominateurs premiers
• 1800 Karl Friedrich Gauss - utilise la théorie des nombres pour expliquer systématiquement modèles dans décimales expansions de nombres rationnels récurrents (par exemple, la relation entre la longueur de la période de la partie récurrente et le dénominateur, qui fractions avec le même dénominateur ont récurrents parties décimales qui sont des changements de chaque d'autres, comme 1/7 et 2/7) et pose également des questions qui restent ouvertes à ce jour (par exemple, un cas particulier de La conjecture de Artin sur les racines primitives: 10 est un générateur modulo p pour infinité de nombres premiers p)?.
• 1925 Louis Charles Karpinski - L'histoire de l'arithmétique
• 1959 Werner Buchholz - Les doigts ou les mains? (Le Choix de représentation décimale ou binaire)
• 1974 Hermann Schmid - Calcul décimal
• 2000 Georges Ifrah - L'histoire universelle des chiffres: De la Préhistoire à l'invention de l'ordinateur
• 2003 Mike Cowlishaw - virgule décimale flottante: algorism pour les ordinateurs.

Les langues naturelles

Un système décimal simple, dans lequel 11 est exprimée en dix à une et 23 que de deux à dix-trois ans, se trouve dans les langues chinoises exception Wu, et Vietnamienne avec quelques irrégularités. Japonais, Coréen, et Thai ont importé le système décimal chinois. Beaucoup d'autres langues avec un système décimal ont mots spéciaux pour les numéros entre 10 et 20, et des décennies.

Langues incas telles que Quechua et Aymara ont un système décimal presque simple, dans lequel 11 est exprimée en dix avec un seul et 23 que de deux à dix avec trois.

Certains psychologues suggèrent irrégularités de chiffres dans une langue peut nuire à la capacité de comptage des enfants.