Algèbre

L'algèbre est une branche de mathématiques concernant l'étude de la structure , relation et la quantité . Le nom est dérivé du traité écrit en arabe par le Persan mathématicien, astronome, astrologue et géographe, Muhammad bin Musa al-Khwarizmi intitulé Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (ce qui signifie " Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison "), qui a fourni des opérations symboliques pour la solution systématique de linéaire et équations du second degré .

Avec la géométrie , l'analyse , la combinatoire et la théorie des nombres , l'algèbre est l'une des principales branches de mathématiques . algèbre élémentaire est souvent partie du programme d'études dans l'enseignement secondaire et fournit une introduction aux idées fondamentales de l'algèbre, y compris les effets de l'ajout et de la multiplication numéros , le concept de variables, définition des polynômes , avec factorisation et la détermination de leur racines.

L'algèbre est beaucoup plus large que l'algèbre élémentaire et peut être généralisée. En plus de travailler directement avec les nombres, l'algèbre couvre travailler avec symboles, variables et ensemble éléments. Addition et la multiplication sont considérés comme générale opérations, et leurs définitions précises conduisent à des structures telles que des groupes , anneaux et domaines.

Classification

Algèbre peut être divisée à peu près dans les catégories suivantes:

• Algèbre élémentaire , dans lequel les propriétés des opérations sur le système des nombres réels sont enregistrés en utilisant des symboles comme des «fictifs» pour désigner constantes et variables, et les règles régissant expressions mathématiques et équations impliquant ces symboles sont étudiés (note que cela inclut généralement l'objet de cours appelé algèbre intermédiaire et l'algèbre collège), également appelé seconde année et la troisième année de l'algèbre;
• Algèbre abstraite , parfois aussi appelé l'algèbre moderne, dans laquelle les structures algébriques tels que des groupes , anneaux et les champs sont axiomatique défini et étudié; cela inclut, parmi d'autres domaines,
• Algèbre linéaire , dans lequel les propriétés spécifiques des espaces vectoriels sont étudiés (y compris les matrices );
• Algèbre universelle, dans laquelle les propriétés communes à toutes les structures algébriques sont étudiés.
• Théorie algébrique des nombres, dans laquelle les propriétés des nombres sont étudiés à travers des systèmes algébriques. La théorie des nombres beaucoup inspirés de l'abstraction originale en algèbre.
• Géométrie algébrique dans son aspect algébrique.
• Combinatoire algébrique , dans lequel les méthodes algébriques abstraits sont utilisés pour étudier les questions combinatoires.

Dans certaines directions d'étude avancée, les systèmes axiomatiques algébriques tels que des groupes, des bagues, des champs et des algèbres sur un champ sont étudiées en présence d'un géométrique structure (un métrique ou une topologie ) qui est compatible avec la structure algébrique. La liste comprend un certain nombre de domaines analyse fonctionnelle:

Algèbre élémentaire

Algèbre élémentaire est la forme la plus fondamentale de l'algèbre. Il est enseigné aux élèves qui sont présumés ne pas avoir connaissance des mathématiques au-delà des principes de base de l'arithmétique . En arithmétique, seuls les numéros et leurs opérations arithmétiques (tels que +, -, ×, ÷) se produire. En algèbre, les nombres sont souvent désignées par des symboles (par exemple, A, X ou Y). Ce est utile parce que:

• Il permet la formulation générale des lois arithmétiques (tels que a + b = b + a pour tout a et b), et est donc la première étape pour une exploration systématique des propriétés du système des nombres réels .
• Il permet la référence aux numéros «inconnus», la formulation des équations et l'étude de la façon de résoudre ces (par exemple, "trouver un certain nombre x tel que x 3 + 1 = 10").
• Il permet la formulation de fonctionnels relations (tels que "Si vous vendez x billets, alors votre bénéfice sera 3 x - 10 dollars, ou f (x) = x 3 - 10, où f est la fonction, et x est le nombre dans laquelle la fonction est appliquée. »).

Polynômes

A est un polynôme expression qui est construit à partir d'un ou plusieurs variables et constantes, en utilisant uniquement les opérations d'addition, la soustraction et la multiplication (où la multiplication répétée de la même variable est en standard désignés comme exponentiation avec tout un exposant de nombre positif constant). Par exemple, est un polynôme dans la seule variable x.

Une classe importante de problèmes dans l'algèbre est factorisation de polynômes, ce est l'expression d'un polynôme donné en tant que produit d'autres polynômes. L'exemple ci-dessus peut polynomiale être pris comme Une classe connexe de problèmes est de trouver des expressions algébriques pour le racines d'un polynôme à une seule variable.

Algèbre abstraite

Algèbre abstraite étend les concepts familiers trouvés dans l'algèbre élémentaire et l'arithmétique des nombres à des concepts plus généraux.

Sets: Plutôt que de simplement considérer les différents types de numéros , résumé algèbre offres avec la notion plus générale d'ensembles: une collection de tous les objets (appelé éléments) sélectionnés par la propriété, spécifiques pour l'ensemble. Toutes les collections des types familiers de nombres sont des ensembles. Autres exemples d'ensembles comprennent l'ensemble des deux-par-deux matrices , l'ensemble de tous second degré polynômes (AX ² + bx + c), l'ensemble des deux dimensions vecteurs dans le plan, et les divers groupes finis tels que les groupes cycliques qui sont le groupe d'entiers modulo n. La théorie des ensembles est une branche de la logique et pas techniquement une branche de l'algèbre.

Les opérations binaires: La notion de plus (+) est prélevée pour donner une opération binaire, * dire. La notion de fonctionnement binaire est rien sans l'ensemble sur lequel l'opération est défini. Pour deux éléments A et B dans un ensemble S a * b donne un autre élément dans le jeu; cette condition est appelée . fermeture Addition (+), la soustraction (-), multiplication (×), et la division (÷) peuvent être des opérations binaires lorsqu'elle est définie sur différents ensembles, tout comme l'addition et la multiplication des matrices, vecteurs, et des polynômes.

éléments d'identité: Les numéros zéro et un sont extraites de donner à la notion d'un élément d'identité pour une opération. Zéro est l'élément d'identité pour l'addition et on est l'élément d'identité pour la multiplication. Pour un opérateur binaire générale * l'identité élément e doit répondre à un e * = a et e * a = a. Cela vaut pour l'addition a + 0 = a 0 et a = a + et une multiplication × 1 = a 1 et a = a ×. Cependant, si nous prenons les nombres naturels positifs et plus, il n'y a aucun élément d'identité.

Éléments inverses: Les nombres négatifs donnent lieu à la notion d'éléments inverses. Par ailleurs, l'inverse d'une -a est, pour la multiplication et l'inverse est égal à 1 / a. Un élément inverse générale ^-1 doit satisfaire la propriété qui a * a = ^-1 e et un ^-1 * a = e.

Associativité : Addition des entiers possède une propriété appelée associativité. Cela signifie que le groupement des nombres à ajouter ne affecte pas la somme. Par exemple: (2 + 3) + 4 + 2 = (3 + 4). En général, cela devient (a * b) * c = a * (b * c). Cette propriété est partagée par la plupart des opérations binaires, mais pas la soustraction ou division ou octonion multiplication.

Commutativité : Addition des entiers a également une propriété appelée commutativité. Autrement dit, l'ordre des numéros à ajouter ne affecte pas la somme. Par exemple: 2 + 3 = 3 + 2. En général, cela devient un * b * b = a. Seules quelques opérations binaires ont cette propriété. Il est valable pour les nombres entiers avec addition et de multiplication, mais il ne tient pas pour la multiplication de matrices ou multiplication quaternionique.

Groupes-structures d'un ensemble avec une opération binaire unique

En combinant les concepts ci-dessus donne une des structures les plus importantes en mathématiques: un groupe . Un groupe est une combinaison d'un ensemble S et un seul opération binaire '*', défini en aucune façon que vous choisissez, mais avec les propriétés suivantes:

• Un élément de l'identité e existe, de sorte que pour chaque membre a de S, e * A et A * e sont à la fois identique à un.
• Chaque élément a un inverse: pour chaque membre d'un de S, il existe un élément ^-1 de telle sorte que a * a ^-1 et ^-1 * a sont toutes deux identiques à l'élément d'identité.
• L'opération est associative: si a, b et c sont des membres de S, alors (a * b) * c est identique à a * (b * c).

Si un groupe est également commutative - ce est, pour les deux membres A et B de S, a * b est identique à B * A - puis le groupe est dit être Abélien.

Par exemple, l'ensemble des entiers sous l'opération d'addition est un groupe. Dans ce groupe, l'élément d'identité est égal à 0 et l'inverse de tout élément est un son négation, - a. L'exigence d'associativité est atteint, parce que, pour des entiers a, b et c, (a + b) + c = a + (b + c)

Les non nuls nombres rationnels forment un groupe pour la multiplication. Ici, l'élément d'identité est égal à 1, étant donné que 1 × a = a = a × 1 pour tout nombre rationnel a. L'inverse d'une est une / a, depuis une × 1 / a = 1.

Les entiers sous l'opération de multiplication, cependant, ne forment pas un groupe. Ce est parce que, en général, l'inverse multiplicatif d'un nombre entier ne est pas un nombre entier. Par exemple, la figure 4 est un nombre entier, mais son inverse multiplicatif est de 1/4, ce qui ne est pas un nombre entier.

La théorie des groupes est étudié dans la théorie des groupes . Un résultat majeur de cette théorie est la classification des groupes simples finis, principalement publiés entre environ 1955 et 1983, qui est pensé pour classer tous les fini groupes simples dans environ 30 types de base.

Exemples
Set:	Nombres naturels		Entiers		Nombres rationnels (Aussi réel et complexe numéros)				Entiers mod 3: {0,1,2}
Opération	+	X (w / o zéro)	+	X (w / o zéro)	+	-	X (w / o zéro)	÷ (w / o zéro)	+	X (w / o zéro)
Fermé	Oui	Oui	Oui	Oui	Oui	Oui	Oui	Oui	Oui	Oui
Identité	0	1	0	1	0	N / A	1	N / A	0	1
Inverse	N / A	N / A	-a	N / A	-a	N / A		N / A	0,2,1, respectivement	NA, 1, 2, respectivement
Associatif	Oui	Oui	Oui	Oui	Oui	Aucun	Oui	Aucun	Oui	Oui
Commutative	Oui	Oui	Oui	Oui	Oui	Aucun	Oui	Aucun	Oui	Oui
Structure	monoid	monoid	Groupe abélien	monoid	Groupe abélien	quasigroupe	Groupe abélien	quasigroupe	Groupe abélien	Groupe abélien ( )

Semigroups, quasigroupes, et monoïdes sont des structures semblables à des groupes, mais plus générale. Elles comprennent un ensemble et une opération binaire fermé, mais ne satisfont pas nécessairement les autres conditions. Un semigroupe a une opération binaire associative, mais pourrait ne pas avoir un élément d'identité. Un monoïde est un semi-groupe qui ne avoir une identité, mais pourraient ne pas avoir un inverse pour chaque élément. Un quasigroupe satisfait une exigence que tout élément peut être transformé en un autre par une pré uniques ou post-opératoire; Cependant l'opération binaire pourrait ne pas être associative. Tous sont par exemple de groupoïdes, les structures avec une opération binaire sur lequel aucune autre condition ne est imposée.

Tous les groupes sont monoïdes, et tous les monoïdes sont semigroupes.

Anneaux et les champs-structures d'un ensemble avec deux opérations binaires particulières, (+) et (x)

Les groupes ont une seule opération binaire. Afin d'expliquer le comportement des différents types de numéros, structures avec deux opérateurs doivent être étudiées. La plus importante d'entre elles sont anneaux, et domaines.

Distributivity généraliser la loi distributive pour les nombres, et précise l'ordre dans lequel les opérateurs devraient être appliquées, (appelé priorité). Pour les entiers (a + b) x c = a + b × c × c et c × (a + b) = c × a + b × c et x est dite distributive plus +.

Un anneau a deux opérations binaires (+) et (x), avec distributive × plus +. Sous le premier opérateur (+) il forme un groupe abélien. Dans le cadre du deuxième opérateur (x) il est associative, mais il n'a pas besoin d'avoir une identité, ou à l'inverse, de sorte que la division ne est pas autorisé. L'élément d'identité additive (+) se écrit 0 et l'inverse additif d'un se écrit - a.

Les entiers sont un exemple d'un anneau. Les entiers ont des propriétés supplémentaires qui en font un intègre.

Un champ est un anneau avec la propriété supplémentaire que tous les éléments excluant 0 forment un groupe abélien sous ×. Le (x) l'identité multiplicatif est écrit comme une et l'inverse multiplicatif d'un est écrit comme un ^-1.

Les nombres rationnels, les nombres réels et les nombres complexes sont tous des exemples de domaines.

Objets appelés algèbres

Le mot algèbre est également utilisé pour diverses structures algébriques :

• Algèbre sur un corps ou plus généralement Algèbre sur un anneau
• Algèbre sur un ensemble
• Algèbre de Boole
• F-algèbre et F-cogèbre dans théorie des catégories
• Tribu

Histoire

Une page d' Al-Khwarizmi s ' al-Kitab al-muḫtaṣar fî al-hisab Gabr wa-l-muqabala

Les origines de l'algèbre peuvent être attribués à l'ancienne Babyloniens, qui ont développé une avancée système arithmétique avec laquelle ils ont pu faire des calculs de façon algébrique. Avec l'utilisation de ce système, ils ont été en mesure d'appliquer des formules et calculer des solutions pour les valeurs inconnues pour une classe de problèmes généralement résolus aujourd'hui en utilisant des équations linéaires , équations du second degré , et équations linéaires pour une période indéterminée. En revanche, la plupart Egyptiens de cette époque, et la plupart des Indiens , Grec et Mathématiciens chinois dans le premier millénaire avant JC, habituellement résolu ces équations par géométriques méthodes, telles que celles décrites dans le Papyrus Mathématique Rhind, Sulba soutras, Éléments d'Euclide , et Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique. Le travail géométrique des Grecs, typé dans les éléments, à condition que le cadre de la généralisation des formules-delà de la solution de problèmes particuliers dans des systèmes plus généraux de énoncer et résoudre des équations.

Plus tard, les mathématiciens indiens ont développé des méthodes algébriques à un haut degré de sophistication. Bien que Diophante et les Babyloniens utilisés principalement méthodes ad hoc spéciaux pour résoudre des équations, Brahmagupta fut le premier à résoudre des équations en utilisant des méthodes générales. Il a résolu les équations indéterminées linéaires, équations du second degré, du second ordre équations indéterminées et équations à variables multiples.

Le mot «algèbre» est nommé d'après l' arabe mot "al-Jabr" dans le titre du livre al-Kitab al-muḫtaṣar fî al-hisab Gabr wa-l-muqabala, ce qui signifie Le livre de synthèse concernant Calcul par transposition et la réduction, un livre écrit par le Mathématicien perse Al-Khwarismi en 820. Le mot Al-Jabr signifie «réunion». Le mathématicien hellénistique Diophante a toujours été connu comme «le père de l'algèbre" mais le débat existe maintenant de savoir si ou non Al-Khwarizmi devrait prendre ce titre. Ceux qui soutiennent le point Al-Khwarizmi au fait qu'une grande partie de son travail sur la réduction est encore en usage aujourd'hui et qu'il a donné une explication exhaustive de résoudre des équations du second degré. Ceux qui soutiennent Soulignent le fait que l'algèbre trouvé dans Al-Jabr est plus élémentaire que l'algèbre trouvé dans Arithmetica et que Arithmetica Diophante est syncopé tandis Al-Jabr est entièrement rhétorique. Un autre mathématicien perse, Omar Khayyam, développé la géométrie algébrique et a trouvé la solution géométrique générale de la équation cubique. Les mathématiciens indiens Mahavira et Bhaskara II, et le mathématicien chinois Zhu Shijie, a résolu plusieurs cas de cube, quartique, quintique et d'ordre supérieur polynômes équations.

Un autre événement clé dans le développement de l'algèbre est la solution algébrique générale des équations cubiques et quartiques, développé dans le milieu du 16ème siècle. L'idée d'un facteur déterminant a été développé par Mathématicien japonais Kowa Seki au 17ème siècle, suivie par Gottfried Leibniz dix ans plus tard, dans le but de systèmes d'équations linéaires simultanées utilisant la résolution de matrices . Gabriel Cramer a également travaillé sur des matrices et déterminants dans le 18ème siècle. algèbre abstraite a été développé dans le 19ème siècle, se concentrant initialement sur ce qu'on appelle aujourd'hui la théorie de Galois , et problèmes de constructibilité.

Les étapes du développement de l'algèbre symbolique sont à peu près comme suit:

• Algèbre rhétorique, qui a été développé par les Babyloniens et est restée dominante jusqu'à la 16ème siècle;
• Algèbre géométrique constructive, qui a été souligné par le Mathématiciens grecs classiques indiennes et védiques;
• Syncopé algèbre, tel que développé par Diophante, Et la Brahmagupta Bakhshali Manuscrit; et
• Algèbre symbolique, qui a été initiée par Abu al-Hasan ibn Ali al-Qalasadi et voit son point culminant dans le travail de Gottfried Leibniz .

Couverture de l'édition 1621 du Arithmetica de Diophante, traduit en latin par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac.

Une chronologie des principaux développements algébriques sont comme suit:

• Circa 1800 BC: Le Old babylonienne Strassburg tablette cherche la solution d'une équation elliptique quadratique.
• Circa 1600 BC: Le Plimpton 322 tablette donne un tableau de Triplets pythagoriciens dans babylonienne Manuscrit cunéiforme.
• Circa 800 avant JC: mathématicien indien Baudhayana, dans son Baudhayana Sulba Sutra, découvre triplets pythagoriciens algébrique, trouve des solutions géométriques d'équations linéaires et équations du second degré de la forme ax ² = c et ax ² + bx = c, et trouve deux ensembles de solutions intégrales positifs à un ensemble de simultanée Équations diophantiennes.
• Circa 600 avant JC: mathématicien indien Apastamba, dans son Apastamba Sulba Sutra, résout l'équation linéaire général et utilise des équations diophantiennes simultanées avec jusqu'à cinq inconnues.
• Circa 300 avant JC: Dans le livre II de ses Éléments, Euclide donne une construction géométrique avec des outils euclidiennes pour la solution de l'équation quadratique pour les racines réels positifs. La construction est due à l'école pythagoricienne de la géométrie.
• Circa 300 avant JC: Une construction géométrique pour la solution du cube est demandée (doubler le problème de cube). Il est maintenant bien connu que le cube générale n'a pas de telle solution en utilisant des outils euclidiennes .
• Circa 100 avant JC: équations algébriques sont traités dans le livre de mathématiques chinoises (Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique) de Jiuzhang, qui contient des solutions d'équations linéaires résolus en utilisant la règle de la double fausse position, solutions géométriques des équations du second degré, et les solutions de matrices équivalentes à la méthode moderne, pour résoudre des systèmes d'équations linéaires simultanées.
• Circa 100 avant JC: Le Manuscrit Bakhshali écrit en Inde ancienne utilise une forme de notation algébrique en utilisant des lettres de l'alphabet et d'autres signes, et contient des équations cubiques et quartiques, solutions algébriques des équations linéaires avec jusqu'à cinq inconnues, la formule algébrique général pour l'équation quadratique, et des solutions d'équations du second degré pour une période indéterminée et des équations simultanées.
• Circa 150 AD: Héron d'Alexandrie traite des équations algébriques en trois volumes de mathématiques.
• Circa 200: Diophante, qui a vécu en Egypte et est souvent considéré comme le «père de l'algèbre", écrit son célèbre Arithmetica, une oeuvre avec des solutions d'équations algébriques et sur la théorie des nombres.
• 499: mathématicien indien Aryabhata, dans son traité Aryabhatiya, obtient des solutions de nombre entier d'équations linéaires par une méthode équivalente à celle moderne, décrit la solution intégrale générale de l'équation linéaire indéterminée et donne des solutions intégrales d'équations linéaires simultanées pour une période indéterminée.
• Circa 625: mathématicien chinois Wang Xiaotong trouve des solutions numériques des équations cubiques.
• 628: mathématicien indien Brahmagupta, dans son traité Brahma Sputa Siddhanta, invente la chakravala méthode de résoudre des équations du second degré pour une période indéterminée, y compris L'équation de Pell, et donne des règles pour résoudre des équations linéaires et quadratiques.
• 820: Le mot est dérivé de l'algèbre opérations décrites dans le traité rédigé par le Mathématicien persan Muhammad ibn Musa al-Ḵwārizmī intitulé Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (qui signifie «Le Compendious livre sur le calcul par l'achèvement et équilibrage») sur la solution systématique de linéaire et équations du second degré . Al-Khwarizmi est souvent considéré comme le «père de l'algèbre", une grande partie de dont les travaux sur la réduction a été inclus dans le livre et ajouté à de nombreuses méthodes que nous avons maintenant en algèbre.
• Circa 850: Mathématicien persan al-Mahani conçut l'idée de réduire les problèmes géométriques telles que la duplication du cube pour des problèmes d'algèbre.
• Circa 850: mathématicien indien Mahavira résout diverses équations du second degré, cubes, quartiques, quintique et d'ordre supérieur, ainsi que quadratique indéterminée, équations cubiques et d'ordre supérieur.
• Circa 990: Persan Abu Bakr al-Karaji, dans son traité al-Fakhri, développe davantage l'algèbre en étendant la méthodologie d'Al-Khwarizmi d'intégrer puissances entières et les racines intégrante de quantités inconnues. Il remplace opérations géométriques de l'algèbre avec des opérations arithmétiques modernes, et définit le monômes x, x ^2, x ^3, ... et 1 / x, 1 / x ^2, 1 / x ^3, ... et donne des règles pour les produits de deux quelconques de ceux-ci.
• Circa 1050: mathématicien chinois Jia Xian trouve des solutions numériques d'équations algébriques.
• 1072: Mathématicien persan Omar Khayyam développe la géométrie algébrique et, dans le Traité sur la démonstration des problèmes de l'algèbre, donne une classification complète des équations cubiques avec des solutions géométriques générales trouvés par l'intermédiaire d'intersection sections coniques.
• 1114: mathématicien indien Bhaskara, dans son Bijaganita (algèbre), reconnaît que un nombre positif a la fois positif et négatif racine carrée , et résout divers équations polynomiales cubes, quartique et d'ordre supérieur, ainsi que l'équation quadratique indéterminé général.
• 1202: Algèbre est introduit dans l'Europe en grande partie grâce au travail de Leonardo Fibonacci de Pise dans son travail Liber Abaci.
• Circa 1300: mathématicien chinois Zhu Shijie traite algèbre de polynômes, résout les équations du second degré, équations simultanées et équations avec jusqu'à quatre inconnues, et numériquement résout certains quartique, quintique et d'ordre supérieur équations polynomiales.
• Circa 1400: mathématicien indien Madhava de Sangamagramma trouve méthodes itératives de solution approchée d'équations non linéaires.
• Circa 1450: mathématicien arabe Abu al-Hasan ibn Ali al-Qalasadi pris "les premiers pas vers l'introduction de symbolisme algébrique. "Il a représenté symboles mathématiques en utilisant des caractères de la Alphabet arabe.
• 1535: Nicolo Fontana Tartaglia et d'autres mathématiciens en Italie résolus indépendamment l'équation cubique général.
• 1545: Girolamo Cardano publie Ars magna - Le grand art qui donne la solution de Fontana à l'équation quartique général.
• 1572: Rafael Bombelli reconnaît les racines complexes de la cubique et améliore la notation actuelle.
• 1591: François Viète développe une meilleure notation symbolique pour divers pouvoirs d'un inconnu et utilise les voyelles et les consonnes pour inconnues des constantes dans En Artem analyticam isagoge.
• 1631: Thomas Harriot dans une publication posthume utilise la notation exponentielle et est le premier à utiliser des symboles pour indiquer «inférieur à» et «supérieur».
• 1682: Gottfried Wilhelm Leibniz développe sa notion de manipulation symbolique des règles formelles qu'il appelle characteristica generalis.
• 1680: mathématicien japonais Kowa Seki, dans sa méthode de résoudre les problèmes dissimulés, découvre le facteur déterminant , et Nombres de Bernoulli.
• 1750: Gabriel Cramer, dans son traité Introduction à l'analyse des courbes algébriques, déclare La règle et les études de Cramer algébrique des courbes, des matrices et déterminants.
• 1824: Niels Henrik Abel se est avéré que l'équation quintique générale est insoluble par les radicaux.
• 1832: la théorie de Galois est développé par Evariste Galois dans son travail sur l'algèbre abstraite.