Physique mathématique

Physique mathématique est la discipline scientifique concernée par l'interface de mathématiques et la physique . Il n'y a pas de réel consensus sur ce qui constitue ou ne constitue pas la physique mathématique. Une définition très typique est celle donnée par le Journal de Physique Mathématique: "l'application des mathématiques à des problèmes dans la physique et le développement de méthodes mathématiques appropriées pour de telles applications et pour la formulation de la physique théorique | théories physiques. "

Cette définition ne, cependant, ne couvre pas la situation où les résultats de la physique sont utilisés pour aider à prouver faits abstraits des mathématiques qui ont eux-mêmes rien de particulier à voir avec la physique . Ce phénomène est devenu de plus en plus importante, avec l'évolution de la théorie des cordes recherche innove dans les mathématiques . Eric Zaslow inventé l'expression Physmatics pour décrire ces évolutions, bien que d'autres gens les considérer comme faisant partie de la physique mathématique appropriée.

Domaines importants de la recherche en physique mathématique comprennent: analyse fonctionnelle / physique quantique , géométrie / la relativité générale et la combinatoire / théorie des probabilités / la physique statistique. Plus récemment, la théorie des cordes a réussi à entrer en contact avec de nombreuses grandes branches des mathématiques y compris la géométrie algébrique, topologie , et géométrie complexe.

Portée du sujet

Il ya plusieurs branches distinctes de la physique mathématique, et ceux-ci correspondent à peu près à des périodes historiques. La théorie des équations aux dérivées partielles (et les domaines connexes de calcul des variations , l'analyse de Fourier, la théorie du potentiel, et l'analyse vectorielle ) sont peut-être plus étroitement associés à la physique mathématique. Ils ont été développés de manière intensive à partir de la seconde moitié du XVIIIe siècle (par exemple, D'Alembert, Euler et Lagrange ) jusqu'à ce que les années 1930. Applications physiques de ces développements incluent hydrodynamique, mécanique céleste, théorie de l'élasticité, l'acoustique, la thermodynamique , l'électricité , le magnétisme , et aérodynamique.

La théorie des spectres atomiques (et, plus tard, la mécanique quantique ) développé presque en même temps que les champs mathématiques de l' algèbre linéaire , le théorie spectrale des opérateurs, et plus largement, analyse fonctionnelle. Celles-ci constituent la base mathématique de l'autre branche de la physique mathématique.

Les particuliers et généraux théories de la relativité nécessitent un type assez différent des mathématiques . Ce était la théorie des groupes : et il a joué un rôle important tant dans la théorie quantique des champs et de la géométrie différentielle . Cela a été, cependant, progressivement complétée par la topologie dans la description mathématique de cosmologique ainsi que théorie quantique des champs phénomènes.

Mécanique statistique constitue un champ distinct, qui est étroitement liée avec le plus mathématique théorie ergodique et certaines parties de la théorie des probabilités .

L'utilisation du terme «physique mathématique» est parfois idiosyncrasique. Certaines parties des mathématiques qui se posent d'abord par le développement de la physique ne sont pas considérés comme faisant partie de la physique mathématique, tandis que d'autres domaines étroitement liés sont. Par exemple, équations différentielles ordinaires et géométrie symplectique sont généralement perçus comme des disciplines purement mathématiques, alors que systèmes dynamiques et Mécanique hamiltonienne appartiennent à la physique mathématique.

Physiciens éminents mathématiques

La grande XVIIe siècle anglais physicien et mathématicien Isaac Newton [1642-1727] a développé une multitude de nouvelles mathématiques (par exemple, le calcul et plusieurs méthodes numériques (notamment de la méthode de Newton )) pour résoudre les problèmes de la physique . Autre importante mathématique physiciens du XVIIe siècle inclus le Hollandais Christiaan Huygens [1629-1695] (célèbre pour suggérer la théorie ondulatoire de la lumière), et l'Allemand Johannes Kepler [1571-1630] ( L'assistant de Tycho Brahe, et découvreur des équations pour le mouvement planétaire / orbite).

Au XVIIIe siècle, deux des grands innovateurs de la physique mathématique étaient suisses: Daniel Bernoulli [1700-1782] (pour les contributions à la dynamique des fluides, et cordes vibrantes), et, plus particulièrement, Leonhard Euler [1707-1783], (pour son travail dans le calcul des variations , dynamique, la dynamique des fluides, et bien d'autres choses). Un autre contributeur notable a été l'Italien-Français d'origine, Joseph-Louis Lagrange [1736-1813] (pour son travail dans la mécanique et les méthodes variationnelles).

À la fin du XVIIIe et XIXe siècles, les chiffres français importants étaient Pierre-Simon Laplace [1749-1827] (en mathématique astronomie , la théorie du potentiel, et mécanique) et Siméon Denis Poisson [1781-1840] (qui a également travaillé dans la mécanique et la théorie du potentiel). En Allemagne , tant Carl Friedrich Gauss [1777-1855] (en magnétisme ) et Carl Gustav Jacobi [1804-1851] (dans les domaines de dynamique et transformations canoniques) ont apporté des contributions clés aux fondements théoriques de l'électricité , le magnétisme , mécanique, et la dynamique des fluides.

Gauss (avec Euler ) est considéré par beaucoup comme l'un des trois plus grands mathématiciens de tous les temps. Ses contributions à géométrie non-euclidienne a jeté les bases pour le développement ultérieur de Géométrie de Riemann par Bernhard Riemann [1826-1866]. Comme nous le verrons plus tard, ce travail est au cœur de la relativité générale .

Le XIXe siècle a également vu l'Ecossais, James Clerk Maxwell [1831-1879], gagner renommée pour ses quatre équations de l'électromagnétisme , et son compatriote, Lord Kelvin [1824-1907] faire des découvertes importantes dans la thermodynamique . Parmi la communauté des physiciens anglais, Lord Rayleigh [1842-1919] a travaillé sur son ; et George Gabriel Stokes [1819-1903] a été un chef de file dans l'optique et la dynamique des fluides; tandis que l'Irlandais William Rowan Hamilton [1805-1865] a été noté pour son travail dans la dynamique. L'Allemand Hermann von Helmholtz [1821-1894] est surtout connu pour son travail dans les domaines de l'électromagnétisme , les vagues, fluides et son . Aux Etats-Unis, le travail de pionnier de Josiah Willard Gibbs [1839-1903] est devenu la base de la mécanique statistique . Ensemble, ces hommes ont jeté les bases de la théorie électromagnétique , dynamique des fluides et la mécanique statistique .

La fin du XIXe et début du XXe siècles ont vu la naissance de la relativité restreinte . Cela avait été prévu dans les travaux du Hollandais, Hendrik Lorentz [1852-1928], avec idées importantes Jules-Henri Poincaré [1854-1912], mais qui ont été portés à la pleine clarté par Albert Einstein [1879-1955]. Einstein a ensuite développé l'approche invariant encore pour arriver à l'approche géométrique remarquable de physique gravitationnelle incarnée dans la relativité générale . Cela était basé sur le géométrie non-euclidienne créé par Gauss et Riemann dans le siècle précédent.

Einstein de la relativité restreinte a remplacé le Transformations galiléennes de temps et l'espace avec Transformations de Lorentz à quatre dimensions Minkowski espace-temps. Sa théorie de la relativité générale a remplacé le plat géométrie euclidienne avec celle d'un Variété riemannienne, dont la courbure est déterminée par la distribution de matière gravitationnelle. Ce remplacé Newton s ' la force de gravité par le scalaire Tenseur de Riemann.

L'autre grand développement révolutionnaire du XXe siècle a été la théorie quantique, qui a émergé des contributions séminales de Max Planck [1856-1947] (sur rayonnement du corps noir) et Einstein l 'œuvre sur le effet photoélectrique. Il se agit, dans un premier temps, suivi d'un cadre heuristique conçu par Arnold Sommerfeld [1868-1951] et Niels Bohr [1885-1962], mais cela a été rapidement remplacé par les mécanique quantique développés par Max Born [1882-1970], Werner Heisenberg [1901-1976], Paul Dirac [1902-1984], Erwin Schrödinger [1887-1961], et Wolfgang Pauli [1900-1958]. Ce cadre théorique révolutionnaire est basée sur une interprétation probabiliste des Etats, et de l'évolution et des mesures en termes d'opérateurs auto-adjoints sur un espace vectoriel de dimension infinie ( Espace de Hilbert, présenté par David Hilbert [1862-1943]). Paul Dirac , par exemple, utilisé constructions algébriques pour produire un modèle relativiste de l' électron , la prévision de son moment magnétique et l'existence de son antiparticule, le positron.

Plus tard, d'importants contributeurs à la physique mathématique du XXe siècle comprennent Satyendra Nath Bose [1894-1974], Julian Schwinger [1918-1994], Sin-Itiro Tomonaga [1906-1979], Richard Feynman [1918-1988], Freeman Dyson [1923-], Hideki Yukawa [1907-1981], Roger Penrose [1931-], Stephen Hawking [1942-], et Edward Witten [1951-].

La physique mathématique rigoureuse

Le terme physique «mathématique» est également parfois utilisé dans un sens particulier, de distinguer la recherche vise à étudier et résoudre les problèmes inspirés par la physique dans un mathématiquement rigoureux cadre. Physique mathématique dans ce sens couvre un domaine très vaste de sujets dont la caractéristique est qu'ils se fondent pures mathématiques et la physique . Bien que lié à physique théorique, physique «mathématique» en ce sens souligne la mathématique rigueur du même type que l'on trouve dans les mathématiques. D'autre part, la physique théorique souligne les liens vers les observations et physique expérimentale qui exige souvent physiciens théoriques (et physiciens mathématiques dans le sens plus général) à utiliser heuristique, arguments intuitifs, et approximatives. Ces arguments ne sont pas considérés rigoureuse par les mathématiciens. Sans doute, la physique mathématique rigoureuse est plus proche de mathématiques et physique théorique est plus proche de la physique.

Ces physiciens mathématiques développer principalement et élucider physique théories. En raison de la rigueur requise, ces chercheurs traitent souvent avec des questions que les physiciens théoriques ont considérées être déjà résolu. Cependant, ils peuvent parfois montrer (mais ni couramment ni facilement) que la solution précédente était incorrecte.

Le champ se est concentrée dans trois domaines principaux: (1) la théorie quantique des champs , en particulier le construction précise de modèles; (2) la mécanique statistique , en particulier la théorie de les transitions de phase; et (3) la mécanique quantique non relativiste ( Schrödinger opérateurs), y compris les connexions à physique atomique et moléculaire.

L'effort de mettre les théories physiques sur une base mathématique rigoureuse a inspiré de nombreux développements mathématiques. Par exemple, le développement de la mécanique quantique et certains aspects de analyse fonctionnelle parallèle les uns des autres de plusieurs façons. L'étude mathématique de la mécanique statistique quantique a motivé des résultats dans algèbres d'opérateurs. La tentative de construire une théorie quantique des champs rigoureuse a permis des progrès dans des domaines tels que théorie de la représentation. L'utilisation de la géométrie et de topologie joue un rôle important dans la théorie des cordes . Le ci-dessus ne sont que quelques exemples. Un examen de la littérature de recherche actuel serait sans doute donner d'autres tels cas.