Trigonométrie

Le Manipulateur robotique Canadarm2 sur la Station spatiale internationale est exploité par contrôler les angles de ses articulations. Calcul de la position finale de l'astronaute à l'extrémité du bras nécessite l'utilisation répétée de fonctions trigonométriques de ces angles.

Trigonométrie (de grec trigōnon «triangle» + Metron "mesure") est une branche de mathématiques qui étudie les triangles et les relations entre les longueurs de leurs côtés et les angles entre les côtés. Trigonométrie définit les fonctions trigonométriques , qui décrivent ces relations et ont applicabilité à des phénomènes cycliques, comme les vagues. Le champ a évolué au cours du troisième siècle avant JC comme une branche de la géométrie largement utilisé pour les études astronomiques. Il est aussi le fondement de la pratique de l'art arpentage.

bases de trigonométrie sont souvent enseignées dans l'école soit comme un cours séparé ou dans le cadre d'un Bien sûr precalculus. Les fonctions trigonométriques sont omniprésents dans certaines parties de mathématiques pures et mathématiques appliquées telles que analyse de Fourier et la équation d'onde, qui sont à leur tour indispensables à de nombreuses branches de la science et de la technologie. Sphériques études de trigonométrie triangles sur sphères , surfaces de constante positive courbure, en géométrie elliptique. Il est fondamental pour l'astronomie et la navigation. Trigonométrie sur des surfaces à courbure négative fait partie de Géométrie hyperbolique.

Histoire

La première table trigonométrique a apparemment été compilé par Hipparque, qui est maintenant conséquent connu comme «le père de la trigonométrie."

Sumériens astronomes introduits mesure d'angle, en utilisant une division de cercles en 360 degrés. Eux et leurs successeurs les Babyloniens ont étudié les rapports des côtés des triangles semblables et ont découvert quelques propriétés de ces rapports, mais ne ont pas le transformer en une méthode systématique pour trouver côtés et les angles des triangles. Le ancienne Nubiens utilisé une méthode similaire. Les anciens Grecs transformé la trigonométrie en une science ordonnée.

Classique Mathématiciens grecs (tels que Euclide et d'Archimède ) ont étudié les propriétés de les accords et les angles inscrits dans les cercles, et prouvé théorèmes qui sont équivalents à des formules trigonométriques modernes, même se ils les ont présentés géométriquement plutôt que algébrique. Claude Ptolémée étendus sur Accords Hipparque dans un cercle dans son Almageste. Le moderne fonction sinus a été défini dans le premier Surya Siddhanta, et ses propriétés ont encore été documentés par le 5ème siècle mathématicien indien et astronome Aryabhata. Ces œuvres grecques et indiennes ont été traduits et élargis par mathématiciens islamiques médiévaux. Par le 10ème siècle, les mathématiciens islamiques étaient en utilisant tous les six fonctions trigonométriques, avaient totalisées leurs valeurs, et ont été les appliquer à des problèmes de géométrie sphérique. A peu près au même moment, Mathématiciens chinois ont développé la trigonométrie indépendamment, bien que ce ne était pas un champ d'étude important pour eux. Connaissance des fonctions et des méthodes trigonométriques atteint l'Europe via Les traductions des œuvres d'latine Astronomes persans et arabes tels que Al Battani et Nasir al-Din al-Tusi. Un des premiers travaux sur la trigonométrie par un mathématicien européenne est Triangulis De par le 15ème siècle allemand mathématicien Regiomontanus. Trigonométrie était encore si peu connu en Europe 16ème siècle que Nicolas Copernic a consacré deux chapitres de Des révolutions des sphères célestes à expliquer ses concepts de base.

Poussé par les exigences de la navigation et le besoin croissant de cartes précises des grandes régions, la trigonométrie a grandi dans une branche importante des mathématiques. Pitiscus était le premier à utiliser le mot, la publication de son Trigonometria en 1595. Gemma Frisius décrit pour la première fois le procédé de triangulation utilisé encore aujourd'hui dans l'arpentage. Ce était Leonhard Euler qui ont pleinement intégré nombres complexes dans la trigonométrie. Les travaux de James Gregory dans le 17ème siècle et Colin Maclaurin au 18ème siècle était influent dans le développement de la série trigonométrique. Toujours dans le 18ème siècle, Brook Taylor défini le grand série de Taylor .

Vue d'ensemble

Dans ce triangle rectangle: sin A = a / c; cos A = b / c; tan A = a / b.

Si une angle d'un triangle est de 90 degrés et l'un des autres angles est connue, la troisième est ainsi fixé, parce que les trois angles d'un triangle se additionnent à 180 degrés. Les deux angles aigus donc ajouter jusqu'à 90 degrés: ils sont angles complémentaires. Le forme d'un triangle est complètement déterminé, à l'exception de similarité, par les angles. Une fois que les angles sont connus, le rapports des côtés sont déterminés, indépendamment de la taille globale du triangle. Si la longueur de l'un des côtés est connu, les deux autres sont déterminés. Ces ratios sont donnés par les suivantes fonctions trigonométriques de l'angle connu A, où a, b et c se réfèrent à la longueur des côtés de la figure ci-jointe:

• Fonction sinus (sin), défini comme le rapport du côté opposé à l'angle de la hypoténuse.

• Cosinus fonction (cos), défini comme le rapport de la jambe adjacent à l'hypoténuse.

• Tangent fonction (tan), défini comme le rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente.

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle de 90 degrés dans un triangle rectangle; ce est le côté le plus long du triangle, et l'un des deux côtés adjacents à l'angle A. La jambe est adjacent de l'autre côté qui est adjacent à l'angle A. Le côté opposé est le côté qui est opposé à l'angle A. Les termes perpendiculaires et la base sont parfois utilisés pour les côtés opposés et adjacents respectivement. De nombreux anglophones trouvent qu'il est facile de se rappeler ce que les côtés du triangle rectangle sont égales à sinus, cosinus, tangente ou, en mémorisant le mot SOH-CAH-TOA (voir ci-dessous mnémoniques ).

Le inverses de ces fonctions sont nommés la cosécante (csc ou COSEC), sécant (s), et cotangent (bébé), respectivement:

Le fonctions inverses sont appelés l'arcsinus, arccosinus et arctangente, respectivement. Il existe des relations entre ces fonctions arithmétiques, qui sont connus en tant que identités trigonométriques. Le cosinus, cotangente, et cosecant sont ainsi nommés parce qu'ils sont respectivement le sinus, tangente, et sécante de l'angle complémentaire en abrégé "coopération".

Grâce à ces fonctions, on peut répondre à pratiquement toutes les questions au sujet de triangles arbitraires en utilisant la loi des sinus et de la loi des cosinus. Ces lois peuvent être utilisés pour calculer les angles restants et les côtés d'un triangle, dès que les deux faces et leur angle inclus ou deux angles et un côté ou les trois côtés sont connus. Ces lois sont utiles dans toutes les branches de la géométrie, puisque chaque polygone peut être décrit comme une combinaison fini de triangles.

Étendre les définitions

Figue. 1a - sinus et cosinus d'un angle θ défini en utilisant le cercle unité.

Les définitions ci-dessus se appliquent à des angles entre 0 ° et 90 ° (0 et π / 2 radians ) uniquement. En utilisant le cercle unité, on peut les étendre à tous les arguments positifs et négatifs (voir fonction trigonométrique ). Les fonctions trigonométriques sont périodique, avec une période de 360 degrés ou 2π radians. Cela signifie que leurs valeurs répéter à ces intervalles. Les fonctions de tangente et cotangente ont également une période plus courte, de 180 ° ou π radians.

Les fonctions trigonométriques peuvent être définies par d'autres moyens en plus des définitions géométriques ci-dessus, en utilisant des outils de calcul et série infinie. Avec ces définitions, les fonctions trigonométriques peuvent être définis pour des nombres complexes . La fonction exponentielle complexe est particulièrement utile.

Voir Euler et Les formules de De Moivre.

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  processus de graphique de y = sin (x) en utilisant un cercle unité.

• 

  processus de graphique de y = tan (x) en utilisant un cercle unité.

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  processus de graphique de y = csc (x) en utilisant un cercle unité.

Mnémotechnique

Une utilisation courante de mnémoniques est de se souvenir des faits et des relations dans la trigonométrie. Par exemple, les sinus, cosinus, tangentes et les ratios dans un triangle rectangle peuvent être rappelés en les représentant comme des chaînes de lettres. Par exemple, un mnémonique pour les anglophones est SOH-CAH-TOA:

S ine = O pposite ÷ H ypotenuse

C = A Osine djacent ÷ H ypotenuse

T = O angent pposite ÷ Un djacent

Une façon de rappeler les lettres est de les sonder phonétiquement (c.-à-SOH-CAH-TOA, qui se prononce «remorque soi-kə- '-Euh'). Une autre méthode consiste à élargir les lettres dans une phrase, comme «S ome O ld H ippy C aught A utre H ippy T rippin 'O n A cid".

Calcul des fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques ont été parmi les premières utilisations pour tables mathématiques. Ces tableaux ont été incorporées dans les manuels de mathématiques et les élèves ont appris à rechercher des valeurs et comment interpoler entre les valeurs indiquées pour obtenir une plus grande précision. règles de chute avait échelles spéciales pour les fonctions trigonométriques.

Aujourd'hui calculatrices scientifiques ont des boutons pour calculer les principales fonctions trigonométriques (sin, cos, tan, et parfois cis et leurs inverses. La plupart permettent un choix de méthodes de mesure d'angle: degrés, radians et, parfois, grad. La plupart des ordinateurs langages de programmation fournissent des bibliothèques de fonctions qui comprennent les fonctions trigonométriques. Le point de matériel de l'unité intégrée dans les microprocesseurs utilisés dans la plupart des ordinateurs personnels ont des instructions intégrées pour le calcul de fonctions trigonométriques flottante.

Applications de la trigonométrie

Sextants sont utilisés pour mesurer l'angle du soleil ou les étoiles par rapport à l'horizon. Utiliser la trigonométrie et un chronomètre marin, la position du navire peut être déterminée à partir de ces mesures.

Il ya un nombre énorme d'utilisations de la trigonométrie et les fonctions trigonométriques. Par exemple, la technique de triangulation est utilisé dans l'astronomie pour mesurer la distance des étoiles proches, dans la géographie pour mesurer les distances entre les points de repère, et systèmes de navigation par satellite. Les fonctions sinus et cosinus sont essentiels à la théorie de la des fonctions périodiques, tels que ceux que décrivent sonores et lumineuses ondes.

Les champs qui utilisent des fonctions de trigonométrie ou trigonométriques comprennent l'astronomie (en particulier pour localiser les positions apparentes des objets célestes, dans lequel trigonométrie sphérique est essentiel) et donc Navigation (sur les océans, dans les avions, et dans l'espace), théorie de la musique, l'acoustique, l'optique , l'analyse des marchés financiers, l'électronique , la théorie des probabilités , les statistiques , la biologie , imagerie médicale ( tomodensitométrie et échographie), pharmacie, la chimie , la théorie des nombres (et donc la cryptologie ), sismologie, la météorologie , l'océanographie , de nombreuses sciences physiques , la terre arpentage et géodésie, l'architecture , phonétique, économie , génie électrique , génie mécanique , génie civil , infographie, cartographie, cristallographie et le développement de jeux.

Identités standard

Les identités sont ces équations qui détiennent vrai pour ne importe quelle valeur.

formules de transformation d'angle

Formules communes

Triangle dont les côtés a, b, c et angles respectivement opposés A, B, C

Certaines équations impliquant des fonctions trigonométriques sont vraies pour tous les angles et sont connus comme des identités trigonométriques. Certaines identités assimilent une expression à une expression différente impliquant les mêmes angles. Ils sont énumérés dans Liste des identités trigonométriques. Triangle identités qui relient les côtés et les angles d'un triangle donné sont répertoriés ci-dessous.

Dans les identités suivantes, A, B et C sont les angles d'un triangle et a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle en regard des angles respectifs.

Loi des sinus

Le loi des sinus (aussi connu comme la «règle sine") pour un Etats triangle arbitraires:

où R est le rayon de la cercle circonscrit du triangle:

Une autre loi impliquant sinus peut être utilisé pour calculer l'aire d'un triangle. Compte tenu deux côtés et l'angle entre les côtés, la surface du triangle est:

Toutes les fonctions trigonométriques d'un angle θ peut être construit géométriquement en termes d'un cercle unité centré à O.

Loi des cosinus

Le loi des cosinus (connus sous le nom de la formule du cosinus, ou la «règle des cos") est une extension du théorème de Pythagore aux triangles arbitraires:

ou de manière équivalente:

Loi des tangentes

Le la loi des tangentes:

La formule d'Euler

La formule d'Euler, qui stipule que , Produit les suivants analytiques identités pour sinus, cosinus et tangente en termes de e et l' unité imaginaire i: