e (constante mathématique)

Le mathématique constante e est l'unique de nombre réel tel que la valeur de la dérivée (pente de la tangente en ligne) de la fonction f (x) = ^x e au point x = 0 est exactement 1. La fonction e ^x ainsi définies est appelé la fonction exponentielle , et son inverse est le logarithme naturel , ou logarithme e base. Le nombre e est aussi communément défini comme la base du logarithme naturel (en utilisant une intégrale de définir celui-ci), tel que le limite d'une certaine séquence , ou comme la somme d'un certain série (voir représentations de e , ci-dessous).

Le nombre e est l'un des numéros les plus importantes en mathématiques, aux côtés de l'additif et identités multiplicatifs 0 et 1 , la constante π et l' unité imaginaire i.

Le nombre e est parfois appelé le numéro d'Euler après la Swiss mathématicien Leonhard Euler , ou Napier constante en l'honneur de l' écossais mathématicien John Napier qui a introduit logarithmes . (E ne doit pas être confondue avec γ - la Euler-Mascheroni constant, parfois appelé tout simplement la constante d'Euler.)

Comme e est transcendantale, et donc irrationnelle , sa valeur ne peut être donnée exactement comme un nombre décimal fini ou éventuellement répéter. La valeur numérique de e tronqué à 20 décimales est:

2,71828 18284 59045 23536 ...

Histoire

Les premières références à la constante ont été publiés en 1618 dans le tableau d'une annexe d'un ouvrage sur les logarithmes par John Napier. Cependant, ce ne contenait pas la constante elle-même, mais simplement une liste des logarithmes naturels calculées à partir de la constante. On suppose que la table a été écrit par William Oughtred. La «découverte» de la constante elle-même est crédité Jacob Bernoulli, qui a tenté de trouver la valeur de l'expression suivante (qui est en fait e):

La première utilisation connue de la constante, représentée par la lettre b, était en correspondance de Gottfried Leibniz à Christiaan Huygens en 1690 et 1691. Leonhard Euler a commencé à utiliser la lettre e pour la constante en 1727, et la première utilisation de l'e dans une publication était Mechanica d'Euler (1736). Alors que dans les années suivantes certains chercheurs ont utilisé la lettre c, e était plus commun et a fini par devenir la norme.

Les raisons exactes de l'utilisation de la lettre e ne sont pas connus, mais il peut être parce que ce est la première lettre du mot exponentielle. Une autre possibilité est que Euler utilisé parce que ce était la première voyelle après une, qu'il utilisait déjà pour un autre numéro, mais sa raison d'utiliser voyelles est inconnue. Il est peu probable que Euler choisi la lettre parce que ce est la première lettre de son nom de famille, car il était un homme très modeste et a essayé de donner le crédit approprié pour le travail des autres.

Applications

Le problème d'intérêt composé

Jacob Bernoulli a découvert cette constante en étudiant une question sur intérêts composés.

Un exemple simple est un compte qui commence par $ 1,00 et paie un intérêt de 100% par an. Si l'intérêt est crédité une fois, à la fin de l'année, la valeur est de 2,00 $; mais si l'intérêt est calculé et ajouté deux fois dans l'année, le $ 1 est multiplié par 1,5 à deux reprises, ce qui donne $ 1,00 × 1,5² = $ 2,25. Aggravant donne trimestrielle $ 1,00 × 1,25 = ⁴ 2.4414 $ ..., et la préparation des rendements mensuels $ 1,00 × (1,0833 ...) = ¹² $ 2,613035 ....

Bernoulli remarqué que cette séquence se approche d'une limite de plus en plus petits intervalles de composition. Aggravant rendements hebdomadaires 2.692597 $ ..., tout en aggravant quotidienne donne 2.714567 $ ..., à seulement deux cents de plus. En utilisant n comme le nombre d'intervalles de composition, avec intérêt 1/ n dans chaque intervalle, la limite pour n grand est le nombre qui est venu à être connu comme e; avec mélange continu, la valeur du compte atteindra 2.7182818 $ .... Plus généralement, un compte qui commence à $ 1, et les rendements (1+ R) dollars à l'intérêt simple, donneront dollars ^{de R} e avec mélange continu.

Essais de Bernoulli

Le nombre e lui-même a également des applications à la théorie des probabilités , où il se pose d'une manière évidemment pas liée à la croissance exponentielle. Supposons qu'un joueur joue une machine à sous qui paie avec une probabilité de un à n et joue n fois. Alors, pour n grand (comme un millions) de la probabilité que le joueur va gagner rien du tout, ce est (environ) 1/ e.

Ceci est un exemple d'un Bernoulli processus des essais. Chaque fois que le joueur joue les fentes, il ya un un sur un million de chances de gagner. Jouer un million de fois est modélisé par la loi binomiale , qui est étroitement liée à la binôme. La probabilité de gagner k fois sur un million d'essais ce est;

En particulier, la probabilité de gagner zéro fois (k = 0) est

Ce est très proche de la limite suivante pour 1/ e:

Dérangements

Une autre application de e, également découvert en partie par Jacob Bernoulli avec Pierre Rémond de Montmort est dans le problème de la dérangements, aussi connu comme le problème de contrôle de chapeau. Ici n clients sont invités à une fête, et à la porte chaque client vérifie son chapeau avec le maître d'hôtel qui les place ensuite dans des boîtes étiquetées. Mais le majordome ne connaît pas le nom des clients, et doit donc les mettre dans des boîtes choisis au hasard. Le problème de de Montmort est: quelle est la probabilité qu'aucun des chapeaux se mettre dans la case de droite. La réponse est:

Comme le nombre de visiteurs n tend vers l'infini, p _n e 1/ approches. En outre, le nombre des moyens les chapeaux peuvent être placés dans les boîtes de sorte qu'aucun des chapeaux est dans la case de droite est exactement n! / E, arrondi à l'entier le plus proche.

Asymptotique

Le nombre e se produit naturellement dans le cadre de nombreux problèmes impliquant asymptotique. Un exemple bien connu est La formule de Stirling pour l'asymptotique de la fonction factorielle , dans lequel à la fois le nombre e et π ENTRÉE:

Une conséquence particulière de ce est

e dans le calcul

Le journal naturel à e, ln (e), est égal à 1

La principale motivation pour introduire le nombre e, en particulier dans le calcul , est d'effectuer différentiel et calcul intégral avec les fonctions exponentielles et logarithmes . Une fonction exponentielle générale y = a ^x a dérivé donné comme limite :

La limite sur le côté droit est indépendant de la variable x: il ne dépend que de la base a. Lorsque la base est e, cette limite est égale à un, et si e est symboliquement définie par l'équation:

Par conséquent, la fonction exponentielle avec la base e est particulièrement adapté à faire le calcul. Le choix de e, par opposition à un autre nombre, comme la base de la fonction exponentielle effectue des calculs impliquant le dérivé beaucoup plus simples.

Une autre motivation vient d'examiner la base-un logarithme . Compte tenu de la définition de la dérivée de connecter _un x la limite:

Une fois de plus, il ya une limite indéterminée qui ne dépend que de la base d'un, et si cette base est e, la limite est une. Donc, symboliquement,

Le logarithme dans cette base spéciale est appelé le logarithme naturel (souvent représentée comme "ln"), et il se comporte aussi bien sous la différenciation car il n'y a pas de limite indéterminée pour mener à bien les calculs.

Il ya donc deux façons de sélectionner un numéro spécial a = e. Une façon est de définir la dérivée de la fonction exponentielle un ^x à un ^x. L'autre façon est de mettre la dérivée de la base d'un logarithme en 1 / x. Dans chaque cas, on arrive à un choix pratique de base pour faire le calcul. En fait, ces deux bases sont en fait la même, le nombre e.

Caractérisations alternatives

Autres caractérisations de e sont également possibles: l'une est que le limite d'une suite, un autre est tel que la somme d'une série infinie, et d'autres encore se appuient sur le calcul intégral . Jusqu'à présent, les deux (équivalentes) propriétés suivantes ont été introduites:

1. Le nombre e est l'unique positif nombre réel de telle sorte que

2. Le nombre e est le nombre réel positif unique tel que

Les trois caractérisations suivantes peuvent être équivalente éprouvée:

3. Le nombre e est la limite

L'aire sous la courbe y = 1 / x est égal à 1 sur l'intervalle 1 ≤ x ≤ e.

4. Le nombre e est la somme de la série infinie

où n! est la factorielle de n.

5. Le nombre e est le nombre réel positif unique tel que

.

Propriétés

Calcul

Comme dans la motivation, la fonction exponentielle f (x) = ^x e est important en partie parce que ce est la fonction non triviale unique (à multiplication par une constante) qui est son propre dérivé

et donc sa propre primitive ainsi:

Fonctions exponentielle comme

Le nombre x = e est où le maximum global se produit pour la fonction:

Plus généralement, est où le maximum global se produit pour la fonction

L'infini tétration

converge seulement si due à un théorème de Leonhard Euler .

Enfin, la fonction exponentielle e ^x est généralement définie comme

La théorie des nombres

Le nombre réel e est irrationnel (voir preuve que e est irrationnel), et en outre est transcendantale ( Théorème Lindemann-Weierstrass). Ce était le premier numéro à prouver transcendantale sans avoir été construit spécialement à cet effet (comparer avec Nombre de Liouville). La preuve a été donnée par Charles Hermite en 1873. Il est supposé être normal.

Les nombres complexes

Il dispose en La formule d'Euler, une formule important lié à des nombres complexes :

Le cas particulier avec x = π est connu comme l'identité d'Euler :

d'où il résulte que, dans le branche principale du logarithme,

En outre, en utilisant les lois pour exponentiation,

qui est la formule de de Moivre.

Représentations de e

Le nombre n peut être représenté comme un nombre réel dans une variété de façons: en tant que série infinie, une produit infini, un fraction continue, ou d'un limite d'une suite. Le chef parmi ces représentations, en particulier dans introductifs calcul des cours est la limite

donnée ci-dessus, ainsi que la série

donnée par l'évaluation de la série de puissance ci-dessus pour e ^x à x = 1.

D'autres représentations moins courantes sont également disponibles. Par exemple, e peut être représenté comme un infini simples fraction continue:

Ou, dans une forme plus compacte (séquence A003417 dans OEIS ):

Qui peut être écrit plus harmonieusement en permettant zéro:

Beaucoup d'autres séries, la séquence, fraction continue, et les représentations infinies de produits de e ont également été développés.

Représentations stochastiques de e

En plus des expressions analytiques pour déterministes représentation de E, comme décrit ci-dessus, il existe des protocoles stochastiques pour l'estimation de e. Dans un tel protocole, des échantillons aléatoires de taille n de la répartition uniforme sur (0, 1) sont utilisées pour approximer e. Si

puis l'attente de U est e: . Ainsi moyennes de l'échantillon de variables U se rapprocheront e.

Chiffres connus

Le nombre de chiffres connus de e a augmenté de façon spectaculaire au cours des dernières décennies. Cela est dû à la fois à l'augmentation de performances des ordinateurs ainsi que des améliorations algorithmiques.

e dans la culture de l'ordinateur

Dans contemporaine la culture Internet, les individus et les organisations paient fréquemment hommage au nombre e.

Par exemple, dans le IPO dépôt de Google , en 2004, plutôt que d'une quantité typique ronde nombre de l'argent, la société a annoncé son intention de lever $ 2,718,281,828, qui est e-milliard de dollars au dollar près. Google a également été responsable d'un panneau mystérieuse qui apparaissait dans le coeur de Silicon Valley, et plus tard dans Cambridge, Massachusetts; Seattle, Washington ; et Austin, Texas. Il lu {premier premier 10 chiffres qui se trouve à deux chiffres consécutifs de e} .com. Résoudre ce problème et en visitant le site Web annoncé conduit à un problème encore plus difficile à résoudre, ce qui entraîne à son tour Google Labs où le visiteur est invité à soumettre un curriculum vitae. Le premier premier à 10 chiffres dans l'e est 7427466391, qui commence à la 99e chiffres. (Un flux aléatoire de chiffres a une chance de commencer un premier 10 chiffres plus tôt 98,4%.)

Dans un autre cas, l'éminent informaticien Donald Knuth laisser les numéros de version de son programme METAFONT approche e. Les deux versions sont, 2,7, 2,71, 2,718, et ainsi de suite.